ТВ нейрозачёт

Лекция 1: Вероятностное пространство

• Испытание: Опыт, который может быть повторен многократно в одних и тех же условиях.

• Частота события Отношение числа появлений события к общему числу испытаний

• Статистическая вероятность: Предел, к которому стремится частота события при неограниченном увеличении числа испытаний.

• События:

  • Достоверное (: Происходит всегда.

  • Невозможное (: Не происходит никогда.

  • Произведение (: Происходят и и одновременно.

  • Сумма (: Происходит хотя бы одно из событий.

  • Разность (: Происходит но не происходит

  • Противоположное (: Происходит тогда, когда не происходит

• Алгебра и алгебра событий: Семейство подмножеств, замкнутое относительно операций объединения, пересечения и дополнения (для алгебры — включая счетные операции).

• Вероятность (аксиоматика): Числовая функция удовлетворяющая условиям: неотрицательности, нормированности (, аддитивности и непрерывности.

• Классическая вероятность: (число благоприятных исходов к общему числу равновозможных исходов).

• Геометрическая вероятность: Отношение меры (длины, площади, объема) области к мере всей области

Лекция 2: Условная вероятность и независимость

• Условная вероятность Вероятность события при условии, что уже произошло.

• Теорема умножения:

• Формула полной вероятности: Позволяет вычислить вероятность события через вероятности гипотез образующих полную группу:

• Формула Байеса: Позволяет переоценить вероятности гипотез (найти апостериорные вероятности) после того, как событие произошло.

• Независимость событий: События и независимы, если

Лекция 3: Схема Бернулли и предельные теоремы

• Схема Бернулли: Последовательность независимых испытаний с двумя исходами (успех/неудача) и постоянной вероятностью успеха

• Формула Бернулли: (вероятность ровно успехов в испытаниях).

• Локальная теорема Муавра-Лапласа: Асимптотическая формула для вычисления при больших через плотность нормального распределения.

• Интегральная теорема Муавра-Лапласа: Оценивает вероятность того, что число успехов попадет в интервал через функцию распределения нормального закона.

• Закон больших чисел Бернулли: При увеличении частота успехов приближается к вероятности

• Теорема Пуассона: Если велико, а мало (, вероятность успехов приближается к

Лекция 4: Случайные величины

• Случайная величина (: Функция от элементарного исхода для которой определена вероятность попадания в любой интервал.

• Функция распределения

  • Свойства: не убывает, непрерывна слева,

• Дискретные СВ: Принимают конечное или счетное число значений. Задаются рядом распределения (таблицей вероятностей).

• Абсолютно непрерывные СВ: Существует плотность распределения такая, что

• Основные распределения:

  • Дискретные: Вырожденное, Биномиальное, Пуассона, Геометрическое.

  • Непрерывные: Равномерное, Показательное (экспоненциальное), Нормальное (Гауссовское).

Лекция 5: Числовые характеристики

• Математическое ожидание (: Среднее значение случайной величины (центр распределения).

• Дисперсия (: Мера рассеяния значений вокруг ожидания.

• Среднее квадратическое отклонение (:

• Моменты:

  • Начальный момент порядка

  • Центральный момент порядка

• Асимметрия ( и Эксцесс (: Характеристики формы распределения (скошенность и островершинность). Для нормального распределения они равны .

Лекция 6: Случайные векторы

• Случайный вектор: Набор из нескольких случайных величин определенных на одном пространстве.

• Совместная функция распределения:

• Независимость случайных величин: Когда совместная функция распределения (или плотность) равна произведению маргинальных функций (плотностей).

• Ковариация (: Мера линейной зависимости двух величин.

• Коэффициент корреляции (: Нормированная ковариация:

  • Всегда

  • Если между величинами существует строгая линейная связь.

  • Если величины называются некоррелированными (из независимости следует некоррелированность, но не наоборот).