"Введение в матанализ", Комплексные числа
Задача 4(4)
Условие
Найти значение выражения: (13+12*𝑖)/(6*𝑖-8)+((1+2*𝑖)2)/(2+𝑖)
Решение
(13+12*𝑖)/(6*𝑖-8)=(13+12*𝑖)/(-8+6*𝑖)=(-104+72)/100+(-96-78)/100*𝑖=-0.32-1.74*𝑖
(1+4*𝑖-4)/(2+𝑖)=(-3+𝑖)/(2+𝑖)=-0.4+2.2*𝑖
Тогда, искомое число: -0.32-1.74*𝑖-0.4+2.2*𝑖=-0.72+0.46*𝑖
Ответ: -0.72+0.46*𝑖
Задача 13(4)
Условие
Найти модуль числа z=1+cos((8*π)/7)+𝑖*sin((8*π)/7)
Решение
|a+b*𝑖|=√(,a2+b2)
|z|2=1+2*cos((8*π)/7)+(cos^2)((8*π)/7)+(sin^2)((8*π)/7)=2+2*cos((8*π)/7)=4*((1+cos((4*π)/7))/2)=4*(cos^2)((4*π)/7)
Ответ: |z|=-2*cos((4*π)/7)
Задача 15(2)
Условие
Найти множество точек комплексной плоскости, заданное уравнением |z-𝑖|<|z+𝑖|
Модуль разности комплексных чисел - расстояние между точками, которые они обозначают. То есть, мы берем все точки, расстояние которых от 𝑖 меньше, чем от -𝑖.
Тогда ответ: верхняя полуплоскость, не включая ось X, то есть: Y>0
Задача 18(6)
Условие
Найти аргумент комплексного числа z=1+cos(π/7)+𝑖*sin(π/7)
Решение
|z|2=(1+cos(π/7))2+(sin^2)(π/7)=2+2*cos(π/7)=4*(cos^2)(π/14)
|z|=2*cos(π/7)
z=2*cos(π/14)⋅(cos(φ)+𝑖*sin(φ))
2*cos(π/14)*cos(φ)=1+cos(π/7)
cos(π/14-φ)+cos(π/14+φ)=1+cos(π/7)
Ответ: arg(z)=φ=π/14+2*π*n,n∈ℤ
Задача 30(3)
Условие
Записать z=((𝑖8+√(,3)*𝑖5)/4)5в алгебраической форме.
Решение
z=((1+√(,3)*𝑖)/4)5=((1/2+𝑖√(,3)/2)5)/(25)=((cos(π/3)+𝑖*sin(π/3))5)/32=cos((5*π)/3)/32+𝑖sin((5*π)/3)/32
Ответ: z=1/64+𝑖√(,3)/64
Задача 31(2)
Условие
Записать z=((√(,3)*𝑖+1)/(𝑖-1))6 в тригонометрической форме.
Решение
a=√(,3)*𝑖+1=2*(cos(π/3)+𝑖*sin(π/3))
b=𝑖-1=√(,2)*(cos((3*π)/4)+𝑖*sin((3*π)/4))
z=(a6)/(b6)=(26*(cos(2*π)+𝑖*sin(2*π)))/(√(,2)6*(cos(π/2)+𝑖*sin(π/2)))=8*(cos((3*π)/2)+𝑖*sin((3*π)/2))
Задача 32(2, 7)
Условие
Найти все корни уравнений:
Решение, п. 2
z3=8*𝑖
8*𝑖=8*(cos(π/2)+𝑖*sin(π/2))
(k_i)∈{0,1,2}
По формуле корней комплексного числа:
(r_i)=√(3,8)*(cos((π/2+2*π*(k_i))/3)+𝑖*sin((π/2+2*π*(k_i))/3))
Посчитаем углы:
{α,β,γ}={π/6,(5*π)/6,(9*π)/2=(3*π)/2}
А потом и корни:
(z_1)=2*(cos(α)+𝑖*sin(α))=√(,3)+𝑖
(z_2)=2*(cos(β)+𝑖*sin(β))=-√(,3)+𝑖
(z_3)=2*(cos(γ)+𝑖*sin(γ))=-2*𝑖
Решение, п. 7
z6+64=0
z=√(,√(3,64))
√(3,64)={4⋅(√(,3)+𝑖)/2,4⋅(-√(,3)-𝑖)/2,4⋅1}
(z_1,2)=±2
(z_3,4)=1±𝑖/√(,3)
(z_5,6)=-1±𝑖/√(,3)
Теорема 2.
Утверджение
Изобразите на плоскости множество точек, заданное неравенством:
Re((2-𝑖)/z-(1-2*𝑖)/z)-Im((2+𝑖)/z+(1+2*𝑖)/z)≤2
Пусть z=x+𝑖*y
(2-𝑖)/z-(1-2*𝑖)/z=(2*x-y-𝑖*(x+2*y))/(x2+y2)-(x+2*y+𝑖*(y-2*x))/(x2+y2)=
=(2*x-y-x-2*y+𝑖*(-x-2*y-y+2*x))/(x2+y2)=(x-3*y+𝑖*(…))/(x2+y2)
(2+𝑖)/z+(1+2*𝑖)/z=(2*x+y+𝑖*(x-2*y))/(x2+y2)+(x-2*y+𝑖*(2*x+y))/(x2+y2)=
=(3*x-y+𝑖*(x-2*y+2*x+y))/(x2+y2)=((…)+𝑖*(3*x-y))/(x2+y2)
Re((2-𝑖)/z-(1-2*𝑖)/z)=(x-3*y)/(x2+y2)
Im((2+𝑖)/z+(1+2*𝑖)/z)=(3*x-y)/(x2+y2)
(x-3*y-3*x+y)/(x2+y2)≤2
-(2*(x+y))/(x2+y2)≤2
Это - вся плоскость, кроме окружности радиусом √(,2)/2с центром в (-1/2,-1/2):