"Введение в матанализ", Действительные числа

Задача 1(2).

Условие

Записать бесконечную периодическую десятичную дробь a=1.3*(18) в виде p/q, если p и q - натуральные числа, не имеющие общих делителей.

Решение

x = 0.0*(18)

1.8*(18)=100*x

99*x=1.8

x=18/990

a=1.3+x=13/10+18/990=1305/990=29/22

Задача 2.

Условие

Доказать, что числа √(,2),√(,3),√(,2/3),√(,2)+√(,3) иррациональные

Решение

Док-во для √(,2):

Пойдем от противного. Пусть √(,2)=p/q. Тогда (p/q)2=2 , то есть p2=2*q2. Так как это целые числа, можем разложить каждое на простые множители. Заметим, что в разложении p2 обязательно четное количество двоек, а в разложении 2q2 - обязательно нечетное. ЧТД

Док-во для √(,3): Полностью аналогично доказательству для √(,2), но мы смотрим на количество троек в разложении, а не троек.

Док-во для √(,2/3): Полностью аналогично доказательству для √(,2), но у нас получается, что 3*p2=2*q2.

Док-во для √(,2)+√(,3): Возводим в квадрат, получаем 5+2√(,6). √(,6) - Иррациональное число (аналогично решению для (√(,2)), причем при прибавлении к рациональному числу или умножении на рациональное число остается иррациональным. Итого, √(,2)+√(,3)=√(,5+2√(,6)), то есть, корню из иррационального числа. Корень из иррационального числа всегда иррационален, так что ЧТД.

Задача 13(2).

Условие

Вычислить сумму: (∑_k=1^n)(1/((4*k-3)*(4*k+1)))

Решение

Рассмотрим выражение под суммой: 1/(4*k-3)-1/(4*k+1)=4/((4*k-3)*(4*k+1))

Можем заменить его на разность вида ƒ(x)-ƒ(x+1),где ƒ(x)=1/(4*x-3)

Далее, воспользуемся телескопическим рядом:

(∑_k=1^n)(1/((4*k-3)*(4*k+1)))=1/4*[1-1/(4*n+1)]=1/4⋅(4*n)/(4*n+1)=n/(4*n+1)

Задача 16(5).

Условие

Доказать равенство: (∑_k=1^n)(k*(k+1)*(k+2))=(n*(n+1)*(n+2)*(n+3))/4

Решение

Рассмотрим функцию ƒ(x)=(x-1)*x*(x+1)*(x+2).

Тогда:

ƒ(k+1)-ƒ(k)=[k*(k+1)*(k+2)*(k+3)]-[(k-1)*k*(k+1)*(k+2)]=4*k*(k+1)*(k+2)

Посчитаем левую часть по формуле телескопического ряда:

(∑_k=1^n)(k*(k+1)*(k+2))=1/4*(∑_k=1^n)(ƒ(k+1)-ƒ(k))=

=1/4⋅(ƒ(n+1)-ƒ(1))=(n*(n+1)*(n+2)*(n+3))/4. ЧТД

Теорема 1.

Утверджение

Доказать для x≥0,n∈ℕ выполняется:

(1+x)n≥1+n*x+(n*(n-1))/2*x2

Доказательство

Правая часть уравнения полностью совпадает с началом бинома Ньютона, то есть для n≤2 выражения будут равны, а дальше там будут появляться дополнительные члены. Они всегда будут положительными, так как ни число сочетаний, ни x не могут быть отрицательными. Получается, что для n≥2, права часть будет больше либо равна (при x=0) левой. ЧТД 1