"Введение в матанализ", Производная

Задача 32

Условие

Найти производную: y=(log_x)(2x)=ƒ(x)

Решение

ƒ(x)=ln(2x)/ln(x)=(x*ln(2))/ln(x)=x/(log_2)(x)

(ƒ^′)(x)=((log_2)(x)-((log_2)(x))′*x)/(log_2^2)(x)=((log_2)(x)-1/(ln(2)*x)*x)/(log_2^2)(x)=(ln(x)/ln(2)-1/ln(2))/(ln(x)/ln(2)⋅(log_2)(x))=(ln(x)-1)/(ln(x)⋅(log_2)(x))

Ответ: (ln(x)-1)/(ln(x)⋅(log_2)(x)),x>0,x≠1

Задача 74

Условие

Найти производную: y=√(,1+tan(x2+x(-2)))=ƒ(x)

Решение

(ƒ^′)(x)=1/2*(1+tan(x2+x(-2)))(-1/2)⋅(1+tan(x2+x(-2)))′=

=1/(2√(,1+tan(x2+x(-2))))⋅(tan^′)(x2+x(-2))⋅(x2+x(-2))′=

=1/(2√(,1+tan(x2+x(-2))⋅cos2(x2+x(-2))))⋅2*(x-1/(x3))=

=(x4-1)/(x3√(,1+tan(x2+x(-2)))⋅cos(x2+x(-2)))

Ответ: (x4-1)/(x3√(,1+tan(x2+x(-2)))⋅cos(x2+x(-2)))

Задача 117

Условие

Найти производную: y=x/√(,ℇ(2*x)-1)-arctan(√(,ℇ(2*x)-1))=ƒ(x)

Решение

(ℇ(2*x)-1)′=(ℇ(2*x))′=2*ℇ(2*x)

(√(,ℇ(2*x)-1))′=(ℇ(2*x))/√(,ℇ(2*x)-1)

(x/√(,ℇ(2*x)-1))′=(√(,ℇ(2*x)-1)-(ℇ(2*x))/√(,ℇ(2*x)-1)*x)/(ℇ(2*x)-1)

(arctan(√(,ℇ(2*x)-1)))′=1/(1+ℇ(2*x)-1)⋅(ℇ(2*x))/√(,ℇ(2*x)-1)=1/√(,ℇ(2*x)-1)

(ƒ^′)(x)=(-(ℇ(2*x))/√(,ℇ(2*x)-1)*x)/(ℇ(2*x)-1)=(-x*ℇ(2*x))/√(,(ℇ(2*x)-1)3)

Ответ: (-x*ℇ(2*x))/√(,(ℇ(2*x)-1)3)

Задача 149

Условие

Найти производную: y=x(xx)=ƒ(x)

Решение

(xx)′=xx⋅(ln(x)⋅x)′=xx⋅(1+ln(x))

(ƒ^′)(x)=[x(xx)]′=x(xx)⋅(ln(x)⋅xx)′=x(xx)⋅(x(x-1)+ln(x)[xx]′)=

=x(xx)⋅(x(x-1)+ln(x)⋅xx⋅(ln(x)+1))

Ответ: x(xx)⋅(x(x-1)+ln(x)⋅xx⋅(ln(x)+1))

Теорема 3.

Условие

Найти производную, не упрощая: y=((arcsin(√(,x))+cos2(3*x-1))/(5(x3)+ln2(1+ℇx)))(x2*cosh(x))

Решение

(Здесь придется листать вправо, прошу прощения)(y^′)=((arcsin(√(,x))+cos2(3*x-1))/(5(x3)+ln2(1+ℇx)))(x2*cosh(x))⋅(ln((arcsin(√(,x))+cos2(3*x-1))/(5(x3)+ln2(1+ℇx)))⋅x2*cosh(x))′=

=((arcsin(√(,x))+cos2(3*x-1))/(5(x3)+ln2(1+ℇx)))(x2*cosh(x))⋅(ln((arcsin(√(,x))+cos2(3*x-1))/(5(x3)+ln2(1+ℇx)))⋅(2*x*cosh(x)+x2*sinh(x))+x2*cosh(x)⋅(5(x3)+ln2(1+ℇx))/(arcsin(√(,x))+cos2(3*x-1))⋅((arcsin(√(,x))+cos2(3*x-1))⋅(5(x3)⋅(3⋅ln(5))+2⋅ln((1+ℇx))⋅1/(1+ℇx)⋅ℇx)-(5(x3)+ln2(1+ℇx))⋅(1/√(,1-x)⋅1/√(,x)+2*cos(3*x-1)⋅-sin(3*x-1)⋅3))/((5(x3)+ln2(1+ℇx))2))