"Введение в матанализ", Последовательности. Предел последовательности

Задача 275(4)

Условие

Доказать ограниченность: (x_i)={(i2+4*i+8)/((i+1)2)}

Решение

(x_i)=(i2+4*i+8)/(i2+2*i+1)=1+(2*i+7)/((i+1)2)=1+2/(i+1)+5/((i+1)2)

Так как i≥0, (x_i)>0, так как i + 1 и (i)+ (1)2 - положительны

Получается, что последовательность ограничена снизу.

Так как i+1 монотонно растет, 1/(i+1) и 1/((i+1)2) монотонно убывают. Получается, что никакой элемент последовательности не больше, чем 8 (выражение при i=0).

Получается, что последовательность ограничена сверху.

При этом, все элементы положительны - значит, что и снизу последовательность ограничена.

ЧТД.

Задача 276(5)

Условие

Доказать неограниченность: (x_i)={i(-1i)}

Решение

Можем разбить эту последовательность на две - (p_j)={[(x_i),i|2]},(q_j)={[(x_i),i∤2]}

Получается, что: (p_j)={2*j},(q_j)={(2*j+1)(-1)}

Последовательность (p_j) монотонно растет, так что не ограничена. Следовательно, и (x_i) тоже не ограничена. ЧТД

Задача 279(2)

Условие

Доказать ограниченность последовательности (x_n)=(∑_k=1^n)(1/(4*k2-1)),n∈ℕ , и найти (sup_)({(x_i)}), (inf_)({(x_i)})

Решение

Сначала докажем ограниченность. Так как n∈ℕ, никакой из членов под суммой (x_i) не будет меньше 0. Соответственно, никакая из сумм тоже не будет, и вся последовательность ограничена снизу 0.

1/(4*k2-1)=1/2*(1/(2*k+1)-1/(2*k-1))=1/(2*k-1)-1/(2*(k+1)-1)

(∑_k=1^n)(1/(4*k2-1))=1/2*(∑_k=1^n)(1/(2*k+1)-1/(2*k-1))=1/(2-1)-1/((2*n+1)-1)=1/2-1/(2*n)=(n-1)/(2*n)

(n-1)/(2*n) - гипербола с асимптотой в 0.5, так что для всех натуральных чисел это значение будет приближаться к 0.5, но никогда его не достигнет. Это значит, что последовательность ограничена сверху 0.5, и так же - что 0.5 это супремум.

Найдем инфимум: заметим, что снизу последовательность ограничено 0, но (x_1)=1/3 Получается, что 1/3 - инфимум

Ответ: (inf_)({(x_i)})=1/3,(sup_)({(x_i)})=0.5

Задача 300(3)

Условие

Доказать, что последовательность (x_n)=√(,n3-1)-n монотонна, начиная с некоторого номера.

Решение

TODO

Задача 2(2)

Условие

Доказать, что (lim_n→∞)(n/(2*n+1))=1/2

Решение

(lim_n→∞)(n/(2*n+1))=(lim_n→∞)(n/(n⋅(2+1/n)))=(lim_n→∞)(1/(2+1/n))=1/2

Задача 13(3)

Условие

Доказать, что последовательность (x_n)=sin((π*n)/2) расходится

Решение

Рассмотрим соседние члены:

• (x_2*k)=sin(π*k)=0

• (x_2*k+1)=sin(π*k+π/2)=±1

Получаем, что разница соседних членов всегда равно 1. Это не стремится к нулю, значит, последовательность расходится. ЧТД

Задача 17

Условие

1. Последовательность {(x_n)} сходится, (lim_n→∞)((x_n))=a . Доказать, что сходится и последовательность {|(x_n)|} и (lim_n→∞)(|(x_n)|)=|a|

2. Привести пример расходящейся последовательности {(x_n)}, для которой последовательность {|(x_n)|} сходится.

Решение

1. Для a выполняется свойство |(x_n)-a|<ε. Но, для вообще любых чисел ||(x_n)|-|a||≤|(x_n)-a|<ε! Значит, что для {|(x_n)|} предел будет |a|. ЧТД

2. Пример - (x_n)=(-1)n

Задача 18

Условие

Две подпоследовательности {(x_2*k)} и {(x_2*k+1)} сходятся к одному и тому же пределу. Доказать, что {(x_n)} тоже к нему сходится.

Решение

По определению предела:

• ∀ε>0:∃(K_1):∀k>(K_1):|(x_2*k)-L|<ε

• ∀ε>0:∃(K_2):∀k>(K_2):|(x_2*k+1)-L|<ε

Пусть K=max((K_1),(K_2)). Тогда:

∀ε>0:∃K=2⋅max((K_1),(K_2)):∀k>K:|(x_k)-L|<ε

ЧТД

Задача 25 (1)

Условие

Доказать, что если (lim_n→∞)((x_n))=a, то (lim_n→∞)(√(,(x_n)))=√(,a).

Решение

По свойствам арифметики пределов: {(y_n)}=√(,(x_n))⇒(lim_n→∞)((y_n)⋅(y_n))=((lim_n→∞)((y_n)))2

Получается, что a=((lim_n→∞)((y_n)))2

ЧТД

Задача 27

Условие

Доказать, что сходящаяся последовательность достигает хотя бы одной из своих точных граней — верхней или нижней.

Решение

TODO

Задача 28

Условие

Является ли обязательно число a пределом последовательности {(x_n)}, если:

• ∃N∈ℕ:∀ε>0,n≥N:|(x_n)-a|<ε

• ∀ε>0:∃N∈ℕ,n≥N:|(x_n)-a|<ε

Решение

Пункт 1:

Да, является. По определению предела:

∀ε>0:∃(N^′)=N:∀n≥(N^′):|(x_n)-a|<ε

То есть a - предел {(x_n)}

Пункт 2:

Нет, не является. Например, свойство выполняется для (x_n)=1/n, N=n=1, a=1. Пределом 1/n единичка очевидно не является, так что это контрпример.

Задача 46

Условие и решение

Привести примеры таких последовательностей {(x_n)} и {(y_n)} таких, что (lim_n→∞)((x_n))=(lim_n→∞)((y_n))=0, и:

• (lim_n→∞)((x_n)/(y_n))=0. Это верно для (x_n)=0,(y_n)=1

• (lim_n→∞)((x_n)/(y_n))=1. Это верно для (x_n)=(y_n)=1

• (lim_n→∞)((x_n)/(y_n))=+∞. Это верно для (x_n)=1/n,(y_n)=1/(n2)

• (lim_n→∞)((x_n)/(y_n)) не существует. Это верно для (x_n)=(y_n)=0

Задача 91

Условие и решение

1. Всякая бесконечно большая последовательность неограничена. Это верно, так как для любой бесконечно большой последовательности и константы C можно найти элемнт последовательности больше.

2. Всякая неограниченная последовательность является бесконечно большой. Это не верно, так как у всех бесконечно больших последовательностей есть предел, а, у, например, (x_n)=n+(-1)n никакого предела нет, даже бесконечного.

Задача 53 (3)

Условие

Найти предел последовательности, если (x_n)=√(,(n+2)*(n+1))-√(,n(n-1))

Решение

TODO

Задача 74 (2)

Условие

Найти предел последовательности (x_n)=√(n,(2*n3+1)/(3*n3-2))

Решение

√(n,(2*n3+1)/(3*n3-2))=√(n,(2+1/(n3))/(3-2/(n3)))→√(n,2/3)→1

Ответ: 1

Задача 7

Условие

Доказать, что если |q|<1, то (lim_n→∞)(qn)=0

Решение

Если |q|<1, то |q⋅q|<q. Значит, что ∀n∈ℕ:|qn|<q<1. Распишем предел по определению:

∀ε>0:∃N∈ℕ:∀n≥N:|qn|<ε

Можем взять, например, N(ε)=(log_q)(ε)-1, тогда все будет выполняться. ЧТД

Задача 71 (1)

Условие

Найти предел последовательности (x_n)=n!/(nn)

Решение

(x_n)=(∏_i=1^n)(i/n). То есть, (lim_n→∞)((x_n))=(∏_i=1^n)((lim_n→∞)(i/n))=0

Задача 60

Условие

Пусть 0<a≤1. Доказать, что (lim_n→∞)(√(n,a))=1

Решение

Распишем предел по определению:

∀ε>0:∃N∈ℕ:∀n≥N:|√(n,a)-1|<ε

Пусть a=1-x:

По неравенству Коши:

(1-x+n-1)/n=(n-x)/n=1-x/n≥(1-x)1/n

При этом √(n,a)- монотонно возрастает.

Получается, что эти последовательности сходятся к одному и тому же числу: (lim_n→∞)(1-x/n)=1

ЧТД

Задача 67

Условие

Доказать, что для любого a (lim_n→∞)((an)/n!)=0

Чтобы не рассматривать a с разным знаком, найдем (lim_n→∞)((|a|n)/n!).

Распишем предел по определению:

∀ε>0:∃N∈ℕ:∀n>N:(|a|n)/n!<ε

Пусть m=⌊|a|⌋+1,∀n>m:

(|a|n)/n!=(|a|m)/m!⋅a/(m+1)⋅a/(m+2)⋅…⋅a/n

Все части, кроме первой положительны и меньше единицы, так что их произведение ≤|a|/n

Значит, что (|a|n)/n!≤(|a|m)/m!⋅|a|/n. Следовательно, (lim_n→∞)((|a|(m+1))/m!⋅1/n)=(|a|(m+1))/m!⋅(lim_n→∞)(1/n)=0

ЧТД

Задача 63 (4)

Условие

Доказать, что ∀a:|a|>1,k∈ℕ:(lim_n→∞)((nk)/(an))=0.

Решение

(nk)/(an)=(nk)/(n((log_n)(a)⋅n))=n(k-n⋅(log_n)(a))

(lim_n→∞)(n(k-n*(log_n)(a)))=nk⋅(lim_n→∞)(n(-n⋅(log_n)(a)))=0

ЧТД

Задача 119

Условие

Доказать, что последовательность сходится тогда и только тогда, когда она ограниченна и имеет один частичный предел.

Решение

1. Всякая сходящаяся последовательность ограничена и имеет ровно один частичный предел.

   Доказательство тривиальное: для любой подпоследовательности исходной будет выполняться расписанный по определению критерий наличия предела, как и для всей последовательности. Также, так как она сходится, последовательность ограничена.

2. Всякая ограниченная последовательность, имеющая ровно один частичный предел сходится.

   Пойдем от противного. Пусть наша последовательность - {(x_n)}. Тогда, если она не сходится, к нашему пределу a, то в этом "виноваты" не те элементы подпоследовательности, которые дают наш частичный предел. Значит, рассмотрим (ограниченную) подпоследовательность из этих "виноватых" элементов. Ее множество частичных пределов не пустое, и она не сходится a, значит, там должен быть какой-то другой частичный предел. Но тогда этот предел будет и в L({(x_n)})! Противоречие.

Задача 121

Условие

Доказать, что всякая неограниченная последовательность либо является бесконечно большой, либо имеет конечный частичный предел.

Решение

Пункт про конечный частичный предел

1. У любой неограниченной и не ББ последовательности есть ББ подпоседовательность:

   Чтобы получить такую подпоследовательность, нужно просто взять какой-то монотонно возрастающий (или убываюший) набор элементов. Так как последовательность неограничена, он всегда найдется

2. Теперь можем взять все элементы, которые ни в какую из ББ подпоследовательностей не входят. Значит, они сами не являются ББ подпоследовательностью, и, в том числе, она ограничена. По теореме Больцано-Вейерштрасса у нее есть частичный предел!

1. Если мы не попали под прошлый пункт, это значит, что последовательность уже является бесконечно большой. ЧТД

Задача 116 (2)

Условие

Найти множество частичных пределов последовательности (x_n)=(-1)n⋅(2*n+1)/(2*n)

Решение

Можно разбить (x_n) на две подпоследовательности: (x_2*n) и (x_2*n+1). Одна стремится к 2, другая к -2. При этом, они вместе используют все элементы (x_n). Получается, что для любого другого частичного предела b не выполняется, что в сколь угодно малой окрестности b лежит бесконечное число точек. Итого, ответ: L({(x_n)})={2,-2}

Задача 117 (1)

Условие

Для последовательности (x_n)=((-1)n)/n+(1+(-1)n)/2 найти верхний и нижний частичные пределы, а так же супремум и инфимум.

Решение

Разобьем нашу последовательность, как и в прошлой задаче, на (x_2*n) и (x_2*n+1):

• (x_2*n)=1/n+2/2=1+1/n⇒(lim_n→∞)((x_2*n))=1

• (x_2*n+1)=(-1)/n+0=-1/n⇒(lim_n→∞)((x_2*n+1))=0

Так как эти две подпоследовательности при объединении дают всю последовательность, других частичных пределов у нее нет. Тогда, (sup_)((x_n))=(x_2)=1.5, (inf_)((x_n))=(x_1)=-1, нижний частичный предел равен 0, а верхний - 1.

Задача 141 (2)

Условие

Доказать, что последовательность (x_n)=(n+1)/(3*n-2) фундаментальна

Решение

Если докажем, что последовательность сходится - она будет фундаментальной. (x_n)=(n+1)/n/(3*n-2)/n=(1+1/n)/(3-2/n). Получается, что (lim_n→∞)((x_n))=1/3. Значит, (x_n) сходится и фундаментальна. ЧТД

Задача 143 (3)

Условие

Доказать, что последовательность (x_n)=(∑_k=1^n)(1/k!) сходится

Решение

Рассмотрим |(x_n+p)-(x_n)| и любой ε>0:

|(∑_k=1^n+p)(1/k!)-(∑_k=1^n)(1/k!)|=(∑_k=n+1^n+p)(1/k!)=1/(n+1)!+1/((n+1)!⋅(n+2))+…+1/((n+1)!⋅(n+p)!/(n+1)!)

Так как q в нижних скобочках вида (n+q)!/(n+1)! начинается с 2, можем заменить ее на 1/(2q), которая будет строго меньше (с одной стороны произвение дробей меньше 1/2, с другой - равных 1/2). Рассмотрим нашу измененную последовательность:

|(x_p+n)-(x_n)|<1/(n+1)!⋅[1+1/2+…+1/(2(p-1))]<1/(n+1)!⋅2<ε, то есть выполняется критерий фундаментальности последовательности. Значит, что последовательность сходится.

Задача 147 (4)

Условие

Доказать, что последовательность (x_n)=(1+((-1)n)/n)n расходится

Решение

Нужно доказать, что ∃ε>0:∀N∈ℕ:∃n≥N, p∈ℕ:|(a_n+p)-(a_n)|≥ε.