Corca

Collaborative Math Editor

Вопросы к коллоку по матану

1. Счетность множества рациональных чисел, несчетность множества действительных чисел.

Счетность множества рациональных чисел:

Можем составить такую табличку, в которой по координатам x,y∈ℕ будут записаны два числа: ±x/y. Тогда, можно пронумеровать все как показано на рисунке.

небольшой вывод

так можно доказать, что |ℕk|=|ℕ|. С помощью аргумента выше доказываем, что |ℕ2|=|ℕ|. Далее идем по индукции - про n-1 элементов "кортежа" мы знаем, что они равномощны ℕ, значит n элементов "кортежа" равномощны ℕ2, следовательно и равномощны ℕ.

Несчетность множества действительных чисел:

Воспользуемся диагональным аргументом, и докажем от противного, что множество [0;1)несчетно. Допустим, что мы выписали в табличку все действительные числа на отрезке по порядку. Тогда, можем закодировать их в двоичной системе счисления. Целая часть у всех чисел 0, ее просто откинем, а дробную переведем в двоичную систему. Получится такая таблица:

Тогда можем взять новое число, которое отличается в бите i это i-го элемента таблицы. Этого числа в табличке нет, так как оно отличается на бит от всех чисел в ней. Противоречие

2. Теорема о существовании точной верхней (нижней) грани множества

Условие

Для любого ограниченного сверху (снизу) множества точек существует верхняя (нижняя) грань.

Определение верхней грани (нижняя определена аналогично):

c=(sup_)(E)⇔{[∀x∈E:c≥x],[∀ε>0:∃x∈E:c-ε<x])

Доказательство

Вспомним о свойстве непрерывности вещественных чисел:
∀A,B⊂ℝ:∃C:∀a∈A,b∈B:a≤C≤b

Для данного множества X определим множество верхних граней X:

x∈X⇔∀x∈X:x≤x

Переводя на русский, множество всех чисел, ≥ всех элементов во множестве X. Оно не пустое, так как последовательность ограничена. По непрерывности действительных чисел найдется такое число I, что ∀x∈x,x∈X:x≤I≤x.

Заметим, что I∈X, по определению X. Значит I - верхняя грань. Так же от противного докажем, что верхних граней меньше нет: если ∃(c^′)<c, который тоже верхняя грань, то он тоже принадлежит X. Получается, что I противоречит своему определению. ЧТД

3. Бесконечно малые последовательности и их свойства. Арифметические операции со сходящимися последовательностями.

1. Произведение бесконечно малой последовательности и ограниченной последовательности дает бесконечно малую последовательность

Доказательство простое: по определению предела |(a_n)|<ε/B, где B- грань второй последовательности. Дальше перемножим, и по определению предела получим, что |(a_n)⋅(b_n)|<ε. ЧТД

2. Сумма любого конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая

Доказательство: такая же история, как в прошлом пункте, только с ε/2 чтобы доказать, что сумма двух бесконечно малая, далее индукция.

3. Связь бесконечно малой и бесконечно большой последовательности

(lim_n→∞)((x_n))=0⇔(lim_n→∞)(1/(x_n))=∞. Доказательство: TODO

(ну очевидно же по определению расписывается)

TODO: арифметические операции со сходящимися последовательностями

4. Свойства пределов, связанные с неравенствами.

1. Ограниченность сходящейся пследовательности

Если последовательность {(x_n)} сходится, то она ограничена.

Доказательство:

Пусть {(x_n)} сходится к l. Зафиксируем какой-то ε, например, ε≔1.

По определению предела ∃N∈ℕ:∀n>ℕ:|(x_n)-l|<1, то есть, начиная с номера N, l-1<(x_n)<1+l.

При этом, до номера N конечное количество элементов, и сами они конечны, а значит, что мы можем взять их них конечный максимум и минимум:

∀n∈ℕ:min(l-1,(x_1),…,(x_N))≤(x_n)≤max(l+1,(x_1),…,(x_N))

ЧТД

2. Отделимость от нуля

Если {(x_n)} сходится к l≠0, то ∃N∈ℕ:∀n>N:{[sign((x_n))=sign(l)],[|(x_n)|>|l|/2])

Доказательство:

Пусть ε≔|l|/2>0. По определению предела:

∃N∈ℕ:∀n>N:|(x_n)-l|<|l|/2

Раскроем модуль:

l-|l|/2<(x_n)<l+|l|/2

Получается, что при l>0:(x_n)>l/2 (левая часть неравенства), а при l<0:(x_n)<l/2 (правая часть неравенства).

Получается, что в обоих случаях знаки совпадают, а (x_n) по модлю больше, то есть |(x_n)|>l/2

ЧТД

3. Переход к пределу в неравенстве

Если ∃(N^′)∈ℕ:∀n>(N^′):(x_n)≤(y_n), то (lim_n→∞)((x_n))≤(lim_x→∞)((y_n))

Доказательство:

Распишем пределы (l_x) и (l_y) по определению:

∀ε>0:∃(N_x)∈ℕ:∀n>(N_x):|(x_n)-(l_x)|<ε

∀ε>0:∃(N_y)∈ℕ:∀n>(N_y):|(y_n)-(l_y)|<ε

Возьмем N=max((N_x),(N_y),(N^′)) ((N^′) из условия):

∀ε>0:∃N∈ℕ:∀n>N:{[(x_n)≤(y_n)],[|(x_n)-(l_x)|<ε],[|(y_n)-(l_y)|<ε])

Далее пойдем от противного: допустим, что (l_x)>(l_y). Возьмем ε≔((l_x)-(l_y))/2

Тогда раскроем модули и получим, что:

(l_x)-((l_x)-(l_y))/2=((l_x)+(l_y))/2<(x_n)
(l_y)+((l_x)-(l_y))/2=((l_x)+(l_y))/2>(y_n)

То есть, (y_n)<a<(x_n), то противоречит условию. ЧТД

4. Теорема о двух милиционерах

оно случайно придумалось, лучше проверить

Если ∃(N^′)∈ℕ:∀n>(N^′):(x_n)≤(a_n)≤(y_n), (lim_n→∞)((x_n))=(lim_→∞)((y_n))=C, то (lim_n→∞)((a_n))=C.

Доказательство:

Как и в прошлом пункте возьмем N=max((N_x),(N_y),(N^′)):

∀ε>0:∀n>N:{[|(x_n)-C|<ε],[|(y_n)-C|<ε],[(x_n)≤(a_n)≤(y_n)])

Раскроем модули и получим, что:

C-ε<(x_n)⇒C-ε<(a_n)
C+ε>(y_n)⇒C+ε>(a_n)

Засовываем два куска обратно под модуль: |(a_n)-C|<ε. ЧТД

5. Теорема о пределе ограниченной монотонной последовательности

Если {(x_n)} монотонно возрастает и ограничена сверху (снизу), то она сходится.

Доказательство:

Докажем для ограниченной сверху последовательности, для ограниченной снизу доказательство аналогичное

Раз последовательность ограничена, то у нее есть точная верхняя грань, обозначим ее S.

Значит, для любого ε>0:S-ε - не верхняя грань, а значит, что найдутся какой-то элемент (x_N)>S-ε. Так как последовательность монотонно возрастает, то ∀i:(x_N+i)>S-ε⇒|(x_N+i)-S|>-ε⇒|(x_N+i)-S|>ε. Значит, что (lim_n→∞)((x_n))=S. ЧТД

6. Число e.

TODO

7. Теорема Кантора о вложенных отрезках.

Или же, теорема об СВО (системе вложенных отрезков)

У любой системы вложенных отрезков:

[(a_1);(b_1)]⊃[(a_2);(b_2)]⊃…⊃[(a_n);(b_n)]⊃…

Есть хотя бы одна общая точка. При этом, если (lim_n→∞)((b_n)-(a_n))=0, то эта точка единственна.

Доказательство:

Существование точки

Возьмем два множества A={(a_n)},B={(b_n)}. По свойству непрерывности вещественных чисел сущесвует такая точка c, что ∀a∈A,b∈B:a≤c≤b, то есть эта точка принадлежит всем отрезкам.

Единственность точки при (lim_n→∞)((b_n)-(a_n))=0

Предположим противное: пусть есть две такие точки c и (c^′), c≠(c^′). Тогда:

∀n:|c-(c^′)|<(b_n)-(a_n)=|(b_n)-(a_n)|

Но по определению предела, ∀ε начиная с какого-то номера |(b_n)-(a_n)|<ε, значит, мы можем взять ε=1/2*|c-(c^′)|, и получить противоречие: |c-(c^′)|<1/2*|c-(c^′)|

ЧТД

8. Подпоследовательности. Два определения частичного предела.

Определение: подпоследовательностью {(x_n)} называют {(x_(k_n))}, где {(k_n)} - возрастающая последовательность натуральных чисел

Определение: частичным пределом последовательности {(x_n)} называют предел ее подпоследовательности {(x_(k_n))}

(не до конца уверен, что это то, что нужно, но другого ничего не смог найти)

Определение/критерий: частичным пределом последовательности называют такое число, что в любой его окрестности находится бесконечное число членов последовательности.

9. Теорема о трёх определениях верхнего и нижнего пределов

какие нахуй три определения. TODO

10. Теорема Больцано–Вейерштрасса

Из всякой ограниченной последовательности точек {(x_n)} можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство:

Так как последовательность ограничена, (x_n)∈[-C;C]. Можем поделить отрезок на два: [-C;0] и [0;C]. Так как в изначальном отрезке будет бесконечное количество точек последовательности, в каком-то из этих двух тоже будет бесконечное колиество точек. Выберем этот отрезок и повторим процесс. В итоге получим систему вложенных отрезков с длинами (a_n)-(b_n)=(2*C)/(2(n-1)). Так как длина сходится к 0, по теореме о вложенных отрезках существует единственное число, которое принадлежит им всем. Пусть это число будет L.

Выберем подпоследовательность (x_(k_m))∈[(a_m);(b_m)] такое, что (k_0)<(k_1)<…<(k_n).

Эта подпоследовательность сходится к точке L. Это следует из того, что расстояние от L до (x_(k_m)) не превосходит длины отрезка [(a_m);(b_m)]:

|(x_(k_m))-L|<|(a_m)-(b_m)|→0

11. Критерий Коши сходимости числовой последовательности

Определение: фундаментальной последовательность называются {(x_n)}, для которых выполняется:

∀ε>0:∃N∈ℕ:∀n>N,p∈ℕ:|(x_n)-(x_n+p)|<ε

Теорема: фундаментальность ⇔ сходимость

Доказательство:

Докажем, что все сходящиеся последовательности фундаментальны

Пусть (lim_n→∞)((x_n))=L. По определению предела можем взять такое N, что для всех номеров больше него |(x_n)-L|<ε/2. Если две точки (x_n) и (x_n+p) обе находятся на расстоянии, не большем ε/2, то друг от друга они находятся на расстоянии не больше ε. ЧТД

Докажем, что любая фундаментальная последовательность сходится

TODO большая умная хрень, смотреть https://berdov.com/works/predel/kriterij-koshi-shodimosti-posledovatelnosti/

12. Определение предела функции в точке в терминах окрестностей (по Коши) и в терминах последовательностей (по Гейне), их эквивалентность

По Коши:

(lim_x→(x_0))(ƒ(x))=L⇔∀ε>0:∃δ>0:∀x∈(U_δ)((x_0)):ƒ(x)∈(U_ε)(L)

По Гейне:

(lim_x→(x_0))(ƒ(x))=L⇔Для любой последовательности Гейне {(x_n)}:

(lim_n→∞)((x_n))=(x_0)⇒(lim_n→∞)(ƒ((x_n)))=L

Доказательство эквивалентности:

Коши ⇒ Гейне:

Гейне ⇒ Коши:

Пойдем от противного: пусть L - предел по Гейне, и не предел по Коши:

∃ε>0:∀δ>0:∃x∈(U_δ)((x_0)):ƒ(x)∉(U_ε)(L)

При этом есть такая последовательность {(x_n)}, что:

∀ε>0:∃N∈ℕ:∀n>N:ƒ((x_n))∈(U_ε)(L)
∀δ>0:∃N∈ℕ:∀n>N:(x_n)∈(U_δ)((x_0))

Зафиксируем какой-то ε, для которого утверджение по Коши не выполняется, и возьмем какую-то δ, так же возьмем максимальное N из двух утверджений. Получается, что:

∀n>N:{[ƒ((x_n))∈(U_ε)(L)],[(x_n)∈(U_δ)((x_0))],[∃x∈(U_δ)((x_0)):ƒ(x)∉(U_ε)(L)])

Так как элементом (x_n) может быть вообще любое число, в том числе и x из третьего утверджения. Противоречие

(a_n)=A+(α_n)

(b_n)=B+(β_n)

(A+(α_n))⋅(B+(β_n))=A*B+A*(β_n)+B*(α_n)+(α_n)*(β_n)

Следовательно, эта хуйня стремится к A*B ЧТД

(A+(α_n))/(B+(β_n))-A/B=(A*B+(α_n)*B-A*B-A*(β_n))/(B*(B+(β_n)))=((α_n)*B-A*(β_n))?(B*(B+(β_n)))=((α_n)*B-A*(β_n))⋅1/(B2+B*(β_n))=

=БМ ⋅ огранич. = БМ

ЧТД

About · What Is Corca? · FAQ · Terms of Service · Privacy Policy

X (Twitter) · Discord · Bluesky

Вопросы к коллоку по матану

1. Счетность множества рациональных чисел, несчетность множества действительных чисел.

Счетность множества рациональных чисел:

небольшой вывод

Несчетность множества действительных чисел:

2. Теорема о существовании точной верхней (нижней) грани множества

Условие

Для любого ограниченного сверху (снизу) множества точек существует верхняя (нижняя) грань.

Определение верхней грани (нижняя определена аналогично):

c=(sup_)(E)⇔{[∀x∈E:c≥x],[∀ε>0:∃x∈E:c-ε<x])

Доказательство

Вспомним о свойстве непрерывности вещественных чисел:
∀A,B⊂ℝ:∃C:∀a∈A,b∈B:a≤C≤b

Для данного множества X определим множество верхних граней X:

x∈X⇔∀x∈X:x≤x

3. Бесконечно малые последовательности и их свойства. Арифметические операции со сходящимися последовательностями.

1. Произведение бесконечно малой последовательности и ограниченной последовательности дает бесконечно малую последовательность

2. Сумма любого конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая

3. Связь бесконечно малой и бесконечно большой последовательности

(lim_n→∞)((x_n))=0⇔(lim_n→∞)(1/(x_n))=∞. Доказательство: TODO

(ну очевидно же по определению расписывается)

TODO: арифметические операции со сходящимися последовательностями

4. Свойства пределов, связанные с неравенствами.

1. Ограниченность сходящейся пследовательности

Если последовательность {(x_n)} сходится, то она ограничена.

Доказательство:

Пусть {(x_n)} сходится к l. Зафиксируем какой-то ε, например, ε≔1.

По определению предела ∃N∈ℕ:∀n>ℕ:|(x_n)-l|<1, то есть, начиная с номера N, l-1<(x_n)<1+l.

∀n∈ℕ:min(l-1,(x_1),…,(x_N))≤(x_n)≤max(l+1,(x_1),…,(x_N))

ЧТД

2. Отделимость от нуля

Если {(x_n)} сходится к l≠0, то ∃N∈ℕ:∀n>N:{[sign((x_n))=sign(l)],[|(x_n)|>|l|/2])

Доказательство:

Пусть ε≔|l|/2>0. По определению предела:

∃N∈ℕ:∀n>N:|(x_n)-l|<|l|/2

Раскроем модуль:

l-|l|/2<(x_n)<l+|l|/2

Получается, что при l>0:(x_n)>l/2 (левая часть неравенства), а при l<0:(x_n)<l/2 (правая часть неравенства).

Получается, что в обоих случаях знаки совпадают, а (x_n) по модлю больше, то есть |(x_n)|>l/2

ЧТД

3. Переход к пределу в неравенстве

Если ∃(N^′)∈ℕ:∀n>(N^′):(x_n)≤(y_n), то (lim_n→∞)((x_n))≤(lim_x→∞)((y_n))

Доказательство:

Распишем пределы (l_x) и (l_y) по определению:

∀ε>0:∃(N_x)∈ℕ:∀n>(N_x):|(x_n)-(l_x)|<ε

∀ε>0:∃(N_y)∈ℕ:∀n>(N_y):|(y_n)-(l_y)|<ε

Возьмем N=max((N_x),(N_y),(N^′)) ((N^′) из условия):

∀ε>0:∃N∈ℕ:∀n>N:{[(x_n)≤(y_n)],[|(x_n)-(l_x)|<ε],[|(y_n)-(l_y)|<ε])

Далее пойдем от противного: допустим, что (l_x)>(l_y). Возьмем ε≔((l_x)-(l_y))/2

Тогда раскроем модули и получим, что:

(l_x)-((l_x)-(l_y))/2=((l_x)+(l_y))/2<(x_n)
(l_y)+((l_x)-(l_y))/2=((l_x)+(l_y))/2>(y_n)

То есть, (y_n)<a<(x_n), то противоречит условию. ЧТД

4. Теорема о двух милиционерах

оно случайно придумалось, лучше проверить

Если ∃(N^′)∈ℕ:∀n>(N^′):(x_n)≤(a_n)≤(y_n), (lim_n→∞)((x_n))=(lim_→∞)((y_n))=C, то (lim_n→∞)((a_n))=C.

Доказательство:

Как и в прошлом пункте возьмем N=max((N_x),(N_y),(N^′)):

∀ε>0:∀n>N:{[|(x_n)-C|<ε],[|(y_n)-C|<ε],[(x_n)≤(a_n)≤(y_n)])

Раскроем модули и получим, что:

C-ε<(x_n)⇒C-ε<(a_n)
C+ε>(y_n)⇒C+ε>(a_n)

Засовываем два куска обратно под модуль: |(a_n)-C|<ε. ЧТД

5. Теорема о пределе ограниченной монотонной последовательности

Если {(x_n)} монотонно возрастает и ограничена сверху (снизу), то она сходится.

Доказательство:

Докажем для ограниченной сверху последовательности, для ограниченной снизу доказательство аналогичное

Раз последовательность ограничена, то у нее есть точная верхняя грань, обозначим ее S.

6. Число e.

TODO

7. Теорема Кантора о вложенных отрезках.

Или же, теорема об СВО (системе вложенных отрезков)

У любой системы вложенных отрезков:

[(a_1);(b_1)]⊃[(a_2);(b_2)]⊃…⊃[(a_n);(b_n)]⊃…

Есть хотя бы одна общая точка. При этом, если (lim_n→∞)((b_n)-(a_n))=0, то эта точка единственна.

Доказательство:

Существование точки

Единственность точки при (lim_n→∞)((b_n)-(a_n))=0

Предположим противное: пусть есть две такие точки c и (c^′), c≠(c^′). Тогда:

∀n:|c-(c^′)|<(b_n)-(a_n)=|(b_n)-(a_n)|

ЧТД

8. Подпоследовательности. Два определения частичного предела.

Определение: частичным пределом последовательности {(x_n)} называют предел ее подпоследовательности {(x_(k_n))}

(не до конца уверен, что это то, что нужно, но другого ничего не смог найти)

9. Теорема о трёх определениях верхнего и нижнего пределов

какие нахуй три определения. TODO

10. Теорема Больцано–Вейерштрасса

Из всякой ограниченной последовательности точек {(x_n)} можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство:

Выберем подпоследовательность (x_(k_m))∈[(a_m);(b_m)] такое, что (k_0)<(k_1)<…<(k_n).

|(x_(k_m))-L|<|(a_m)-(b_m)|→0

11. Критерий Коши сходимости числовой последовательности

Определение: фундаментальной последовательность называются {(x_n)}, для которых выполняется:

∀ε>0:∃N∈ℕ:∀n>N,p∈ℕ:|(x_n)-(x_n+p)|<ε

Теорема: фундаментальность ⇔ сходимость

Доказательство:

Докажем, что все сходящиеся последовательности фундаментальны

Докажем, что любая фундаментальная последовательность сходится

TODO большая умная хрень, смотреть https://berdov.com/works/predel/kriterij-koshi-shodimosti-posledovatelnosti/

12. Определение предела функции в точке в терминах окрестностей (по Коши) и в терминах последовательностей (по Гейне), их эквивалентность

По Коши:

(lim_x→(x_0))(ƒ(x))=L⇔∀ε>0:∃δ>0:∀x∈(U_δ)((x_0)):ƒ(x)∈(U_ε)(L)

По Гейне:

(lim_x→(x_0))(ƒ(x))=L⇔Для любой последовательности Гейне {(x_n)}:

(lim_n→∞)((x_n))=(x_0)⇒(lim_n→∞)(ƒ((x_n)))=L

Доказательство эквивалентности:

Коши ⇒ Гейне:

Гейне ⇒ Коши:

Пойдем от противного: пусть L - предел по Гейне, и не предел по Коши:

∃ε>0:∀δ>0:∃x∈(U_δ)((x_0)):ƒ(x)∉(U_ε)(L)

При этом есть такая последовательность {(x_n)}, что:

∀ε>0:∃N∈ℕ:∀n>N:ƒ((x_n))∈(U_ε)(L)
∀δ>0:∃N∈ℕ:∀n>N:(x_n)∈(U_δ)((x_0))

∀n>N:{[ƒ((x_n))∈(U_ε)(L)],[(x_n)∈(U_δ)((x_0))],[∃x∈(U_δ)((x_0)):ƒ(x)∉(U_ε)(L)])

Так как элементом (x_n) может быть вообще любое число, в том числе и x из третьего утверджения. Противоречие

(a_n)=A+(α_n)

(b_n)=B+(β_n)

(A+(α_n))⋅(B+(β_n))=A*B+A*(β_n)+B*(α_n)+(α_n)*(β_n)

Следовательно, эта хуйня стремится к A*B ЧТД

(A+(α_n))/(B+(β_n))-A/B=(A*B+(α_n)*B-A*B-A*(β_n))/(B*(B+(β_n)))=((α_n)*B-A*(β_n))?(B*(B+(β_n)))=((α_n)*B-A*(β_n))⋅1/(B2+B*(β_n))=

=БМ ⋅ огранич. = БМ

ЧТД