ТВ нейрозачёт

Лекция 1: Вероятностное пространство

• Испытание: Опыт, который может быть повторен многократно в одних и тех же условиях.

• Частота события (p_n)(A) Отношение числа появлений события A к общему числу испытаний n

• Статистическая вероятность: Предел, к которому стремится частота события при неограниченном увеличении числа испытаний.

• События:

  • Достоверное (Ω: Происходит всегда.

  • Невозможное (∅: Не происходит никогда.

  • Произведение (A*B: Происходят и A и B одновременно.

  • Сумма (A+B: Происходит хотя бы одно из событий.

  • Разность (A−B: Происходит A но не происходит B

  • Противоположное (A: Происходит тогда, когда не происходит A

• Алгебра и σалгебра событий: Семейство подмножеств, замкнутое относительно операций объединения, пересечения и дополнения (для σалгебры — включая счетные операции).

• Вероятность (аксиоматика): Числовая функция P(A) удовлетворяющая условиям: неотрицательности, нормированности (P(Ω)=1, аддитивности и непрерывности.

• Классическая вероятность: P(A)=|A|/|Ω| (число благоприятных исходов к общему числу равновозможных исходов).

• Геометрическая вероятность: Отношение меры (длины, площади, объема) области A к мере всей области Ω

Лекция 2: Условная вероятность и независимость

• Условная вероятность P*(A|B) Вероятность события A при условии, что B уже произошло.

• Теорема умножения: P*(A*B)=P(B)*P*(A|B)

• Формула полной вероятности: Позволяет вычислить вероятность события A через вероятности гипотез (B_k) образующих полную группу: P(A)=(∑_^)(P((B_k)))*P*(A|(B_k))

• Формула Байеса: Позволяет переоценить вероятности гипотез (найти апостериорные вероятности) после того, как событие A произошло.

• Независимость событий: События A и B независимы, если P*(A*B)=P(A)*P(B)

Лекция 3: Схема Бернулли и предельные теоремы

• Схема Бернулли: Последовательность независимых испытаний с двумя исходами (успех/неудача) и постоянной вероятностью успеха p

• Формула Бернулли: (P_n)(m)=(C_n)m*pm*q(n−m) (вероятность ровно m успехов в n испытаниях).

• Локальная теорема Муавра-Лапласа: Асимптотическая формула для вычисления (P_n)(m) при больших n через плотность нормального распределения.

• Интегральная теорема Муавра-Лапласа: Оценивает вероятность того, что число успехов попадет в интервал [a,b] через функцию распределения нормального закона.

• Закон больших чисел Бернулли: При увеличении n частота успехов приближается к вероятности p

• Теорема Пуассона: Если n велико, а p мало (n*p→λ, вероятность m успехов приближается к (λm)/(m!)*e(−λ)

Лекция 4: Случайные величины

• Случайная величина (ξ: Функция от элементарного исхода ξ(ω) для которой определена вероятность попадания в любой интервал.

• Функция распределения F(x)=P*(ξ<x)

  • Свойства: не убывает, непрерывна слева, F*(−∞)=0 F*(+∞)=1

• Дискретные СВ: Принимают конечное или счетное число значений. Задаются рядом распределения (таблицей вероятностей).

• Абсолютно непрерывные СВ: Существует плотность распределения p(x) такая, что F(x)=(∫_−∞^x)(p(t)*d(t))

• Основные распределения:

  • Дискретные: Вырожденное, Биномиальное, Пуассона, Геометрическое.

  • Непрерывные: Равномерное, Показательное (экспоненциальное), Нормальное (Гауссовское).

Лекция 5: Числовые характеристики

• Математическое ожидание (M*ξ: Среднее значение случайной величины (центр распределения).

• Дисперсия (D*ξ: Мера рассеяния значений вокруг ожидания. D*ξ=M*(ξ−M*ξ)2=M*ξ2−(M*ξ)2

• Среднее квадратическое отклонение (σ: √(,D*ξ)

• Моменты:

  • Начальный момент порядка ν (α_ν)=M*ξν

  • Центральный момент порядка ν (μ_ν)=M*(ξ−M*ξ)ν

• Асимметрия ((γ_1) и Эксцесс ((γ_2): Характеристики формы распределения (скошенность и островершинность). Для нормального распределения они равны 0.

Лекция 6: Случайные векторы

• Случайный вектор: Набор из нескольких случайных величин ((ξ_1),…,(ξ_n)) определенных на одном пространстве.

• Совместная функция распределения: F((x_1),…,(x_n))=P{(ξ_1)<(x_1),…,(ξ_n)<(x_n)}

• Независимость случайных величин: Когда совместная функция распределения (или плотность) равна произведению маргинальных функций (плотностей).

• Ковариация (cov(ξ,η): Мера линейной зависимости двух величин. cov(ξ,η)=M*ξ*η−M*ξ*M*η

• Коэффициент корреляции (ρ: Нормированная ковариация: ρ=cov(ξ,η)/√(,D*ξ*D*η)

  • Всегда −1≤ρ≤1

  • Если ρ=±1 между величинами существует строгая линейная связь.

  • Если ρ=0 величины называются некоррелированными (из независимости следует некоррелированность, но не наоборот).