Formules de Taylor

Formule de Taylor à l'ordre n

Soit ƒ(a+h)=(T_n)*(h)+(R_n)(h) avec :
(T_n)(h) : La partie principale ou polynomiale. C'est un polynôme de degré n en h
(R_n)(h) : Le reste d'ordre n

Soit ƒ:I→ℝ une fonction de classe C(n+1) et soit a∈I,h∈ℝ tel que a+h∈I. Alors :

ƒ(a+h)=ƒ(a)+(ƒ^′)(a)×h+(ƒ^2)(a)/2!×h2+(ƒ^3)(a)/3!×h3+…+(ƒ^n)(a)/n!×hn+(R_n)(a,ƒ)

avec (R_n)(a,ƒ) le reste de a en ƒ.

Où :

(R_n)(a,ƒ)=(∫_0^h)((ƒ^n+1)(a+t)/n!*(h-t)n*d(t))

Alors la formule condensée de (T_n)(ƒ) est :

(T_n)(ƒ)=(∑_h=0^n)((ƒ^k)(a)/k!*hk)

Ainsi la formule de Taylor reste intégral est :

Soit ƒ∈(𝒞^n+1)(I)

[a;a+h] ou [a+h;a] ⊂I

ƒ(a+h)=(∑_k=0^n)((ƒ^k)(a)/h!*hk)+(∫_0^h)((h-t)n(ƒ^n+1)(a+t)/n!*d(t))

Où la somme correspond à (T_n)(h) et l'intégrale à (R_n)(h).

Corollaire de Taylor Young avec les mêmes hypothèses.

ƒ(a+x)=(T_n)(x)+ο(xn) [x→0]

avec o(xn) de la forme hn×ε(h) où (lim_0)(ε=0)