Étude locale de la fonction

A retenir

Fonction de la forme :

ƒ*(a+t)=α+β*t+γ*tn+o(tn)

Tangente d'équation :

y=α+β*(x-a)

Si ƒ:I→ℝ admet en a un développement limité : ƒ*(a+t)=α+β*t+γ*tn+o(tn) avec γ≠0, alors (𝘊_ƒ) admet une tangente 𝒯 en a d'équation y=α+β*(x-a) et la position de (𝘊_ƒ) par rapport à 𝒯 est donné par le signe de γ*tn.

4 cas possibles :

	γ>0	γ<0
n pair	La fonction est convexe sur a. (𝘊_ƒ) est au dessus de la tangente.	La fonction est concave en a. (𝘊_ƒ) est en dessous de la tangente.
n impair	La fonction admet un point d'inflexion en a. La courbe traverse la tangente.	La fonction admet un point d'inflexion en a. La courbe traverse la tangente.

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