Étude de la convergence simple d'une série

Formes

• Série géométrique : (∑_^)(Xn)

• Série de Riemann : (∑_^)(1/(nα))

• Série de Bertrand : (∑_^)(1/(nα*lnb(n)))

• Cauchy si (u_n)n

• Alembert si factorielles

• Stirling lorsqu'on a la forme (n!)1/nalors on a n/ℇ

Cas de divergences

(u_n)→0 [n→∞] ?

• 1 cas : (u_n)≥0
  - Équivalence
  - Négligeabilité
  - Comparaison

• 2e cas : (u_n)<0(N'est pas positive)
  - Valeurs absolue, ce qui va nous faire tomber dans le premier cas

• 3e cas : (u_n)=(-1)n*(v_n)
  - Leibnitz

• 4e cas :
  - Alembert
  - Cauchy

• Sinon :
  - Série divergente

1er cas

Critère d'équivalence

Forme : (∑_^)((u_n)),(u_n)≥0

Si on a un "polynôme" (pas besoin de puissance entière), garder seulement la plus grande puissance. Attention si ce polynôme est à une puissance, il faut la distribuer.

Critère de négligeabilité

Forme : (∑_^)((u_n)),(u_n)≥0

Il suffit d'utiliser les développements limités à l'ordre 1 (sauf lorsque la consigne nous demande un autre degré), en vérifiant que x→0*[n→+∞]

Critère de comparaison

Forme : (∑_^)((u_n)),(u_n)≥0

Si |(u_n)|<(v_n) et (∑_^)((v_n)) converge ⇒(∑_^)(|(u_n)|) converge absolument ⇒(∑_^)((u_n)) converge

Exemple :

(u_n)=cos(n)×1/(n2), alors
|cos(n)|≤1
|cos(n)|×1/(n2)≤1/(n2), puis appliquer la série de Riemann sur (v_n)

2e cas

Convergence absolue

Forme : (∑_^)((u_n)),(u_n) non positif

(∑_^)(|(u_n)|) converge absolument ⇒ (∑_^)((u_n)) aussi

Théorème des séries alternées

Cas possible, si |(u_n)|≥|(u_n+1)|, alors (∑_^)((u_n)) converge.

3e cas

Critère de Leibnitz

Forme : (∑_^)((u_n))=(∑_^)(-1)n*(v_n)

Étude de (v_n) :

• (v_n)≥0

• (v_n) décroissant

• (v_n)→0*[n→+∞]

Si les 3 cas sont valides, alors la série converge.

4e cas

Critère d'Alembert

Utilisation :

• Si les critères précédents ne fonctionnent pas

• Si la série (u_n) contient des factorielles

Calcul de (lim_n→+∞)((u_n+1)/(u_n))

• l<1 : La série converge

• l>1 : La série diverge

• l=1 : Utiliser une autre méthode

Critère de Cauchy

Utilisation :

• Si les critères précédents ne fonctionnent pas

• Si la série est sous la forme (∑_^)((v_n)n)

Calcul de (lim_n→+∞)((u_n)1/n), (u_n) est considéré comme (∑_^)((v_n)n) qui sera à la puissance 1/n, c'est-à-dire (u_n)1/n=((v_n)n)1/n.

• l<1 : La série converge

• l>1 : La série diverge

• l=1 : Utiliser une autre méthode

Séries

Séries de Riemann

Forme : (∑_^)(1/(nα))

• Si α>1 : La série converge

• Si α≤1: La série diverge

Série de Bertrand

Forme : (∑_^)(1/(nα*lnβ(n)))

• Si α>1 : La série converge

• Si α<1 : La série diverge

• Si {[α=1],[β>1]): La série converge

• Si {[α=1],[β≤1]): La série diverge

Série géométrique

Forme : (∑_^)(Xn) sachant que X est une constante

• Si |X|≥1: La série diverge

• Si |X|<1: La série converge