ДЗ 2. Множества
Task 1.
1.
(A∪B)∖C=(A∪B)∩(C)=(A∩C)∪(B∩C)=(A∖C)∪(B∖C)
ЧТД
2.
A∩(B△C)=A∩(B∖C∪C∖B)=(A∩(B∖C))∪(A∩(C∖B))=
=((A∩B)∖(A∩C))∪((A∩C)-(A∩B))=(A∩B)△(A∩C)
ЧТД
3.
ЧТД
Task 2.
Пусть три ковра представляют из себя множества: A,B,C
Предположим противное: тогда площадь комнаты S=|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|
S=3+3+3-a-b-c+d
По нашему предположению, a,b,c,d<1. Из этого следует, что S>6.Противоречие.
Task 3.
Рассмотрим равенства:
(X∩Y)⨯(Z∩W)=(X⨯Z)∩(Y⨯W)=(X⨯W)∩(Y⨯Z)
Все это - множества пар {a,b}, таких, что:
Слева: ∀a:a∈X∩Y,∀b:b∈Z∩W
Посередине: ∀a:a∈X∧a∈Y,∀b:b∈Z∧b∈W
Справа: ∀a:a∈X∧a∈Y,∀b:b∈W∧b∈Z
Заметим, что три утверджения эквивалентны. ЧТД
Task 4.
Закодируем числа на отрезке [0;1] в двоичной системе счисления: 0.*(x_i). Можем разбить каждое такое число на два (принадлежащих [0;1]): (0.*(x_2*i),0.*(x_2*i+1)). Получается, что из любого числа на отрезке можно сделать уникальную точку на квадрате. А обратным алгоритмом можно сделать и обратное преобразование. Следовательно, преобразование - биекция. ЧТД
Task 5.
Используя аксиому выбора, можем из данного бесконечного множества X убирать один элемент и добавлять его же во множество Y. Так как X - бесконечное множество, Y тоже будет иметь бесконечный размер. При этом есть биекция междe номером итерации и элементом Y, следовательно Y счетно. ЧТД
Task 6.
X={0,1},Y={0,1,2}
Всего |Y||X|=32=9 разных отображений. Среди них нет биективных, так как |X|≠|Y|. Так же нет и сюръективных |X|<|Y|. Есть 2⋅3=6 инъективных: те, в которых im(0)≠im(1).