Cours

Écart type s

s=√(,((∑_^)((x_i)-(X_n))2)/(n-1))

Loi normale

Soit la loi normale 𝒩(μ,σ) ayant pour paramètres μ l’espérance mathématique/moyenne et σ l'écart type, alors on peut connaître la probabilité P(𝘟≤y).

Il faut d'abord standardiser 𝘟 en z=(𝘟-μ)/σ, puis on cherche P(𝘡≤y)=P(Z≤𝘡) sachant que P(Z≤z) le résultat est dans la table.

Par ailleurs si on a P(𝘟>y), alors on standardise et on cherche, puis on cherche pour P(Z≤z) , et on fait 1-P(Z≤z), afin d'avoir la probabilité pour P(𝘟>y).

Dans le cas où le z est négatif, alors on a : P(Z≤-z)=1-P(Z≤z)

Déterminer l'espérance et la variance de X

On utilise les quantiles de la loi normale P(𝘟≤y)=P(Z<z)⇒μ-σ×F(z)=P(Z<z)
P(𝘟>y)=P(Z<z)⇒μ+σ×F(z)=P(Z<z)

Intervalle de confiance

Intervalles de confiance d'une moyenne

Variance où σ^2 est connue

IC=[(X_n)-(t_1-α/2)σ/√(,n);(X_n)+(t_1-α/2)σ/√(,n)]

Variance où σ^2 est inconnue

IC=[(X_n)-(t_1-α/2,n-1)s/√(,n);(X_n)+(t_1-α/2,n-1)s/√(,n)]

Sachant que dans les deux cas s est l'écart type : s=√(,((∑_^)((x_i)-(X_n))2)/(n-1))
n est le nombre de valeurs
(X_n) correspond à la moyenne
n-1 correspond au degré de liberté

Test d'hypothèses paramétriques

Test de la moyenne

Variance où σ^2 est connue

Z=((X_n)-(μ_0))/σ/√(,n)

• Test bilatéral : Rejet de (H_0) si |Z|>(t_1-α/2)

• Test unilatéral droit : Rejet de (H_0) si Z>(t_1-α)

• Test unilatéral gauche : Rejet de (H_0) si Z<-(t_1-α)

Variance où σ^2 est inconnue

T=((X_n)-(μ_0))/s/√(,n)

• Test bilatéral : Rejet de (H_0) si |T|>(t_1-α/2,n-1)

Test d'une proportion

Z=(p-(p_0))/√(,((p_0)*(1-(p_0)))/n)

Avec :
p : La proportion observée
(p_0) : La proportion de l'hypothèse nulle
n : L'échantillon

• Test bilatéral : Rejet de (H_0) si |Z|>(z_1-α/2)

• Test unilatéral droit : Rejet de (H_0) si Z>(z_α)

• Test unilatéral gauche : Rejet de (H_0) si Z<1-(z_α)

Loi Poisson

P(𝘟=k)=(ℇ(-λ)*λx)/x!, λ étant la moyenne pondérée, et qu'au dénominateur on a le nombre total d'observation.

Pourquoi la loi de Poisson ?

Le phénomène d'arrivées de voitures à un péage peut être modélisé par un processus de Poisson si :

• Les arrivées sont indépendantes.

• Le taux moyen d'arrivée est constant.

• La probabilité d'avoir plus d'une arrivée dans un intervalle très court est négligeable.

Chi²

En général à utiliser quand il y a un tableau

(e_i)=n×(p_i) sachant que (p_i)=Effectif/Nombre total ou une autre loi
Effectif=x de P{X=x}
Note : le calcul de (e_i) dépend de la loi utilisé, comme binomiale, poisson ou donnée dans la consigne exemple :
P{X=x}=(13-x)/91 qui correspond à (p_i).

Cas particulier P(n≤x≤m)=-ℇ(-λ*m)-(-ℇ(-λ*n))

(χ_calc)2=(∑_^)((((n_i)-(e_i))2)/(e_i))

ν=Nombre de classe -1-Nombre de paramètre
Note il faut que (e_i)>5 pour compter comme une classe, sinon il faut regrouper

Test bilatéral - Intervalle de confiance χ2=[(χ_théorique*;*α/2;ν)2;(χ_théorique*;*1-α/2;ν)2]

Test unilatéral (𝒳_théorique*;*α;ν)2

Loi binomiale

B(p = probabilité, n =nombre de répétition)

P{X=k}=(n*k)Coefficient binomial*Pk*(1-P)(n-k)