Comparaison et notation de Landau

Résumé

Négligeabilité

Équivalence

Définitions :

Négligeabilité

On écrit ƒ(x)=o(g(x)) [x→a] et on lit ƒ(x) est un petit o de g(x) quand x tend vers a et on dit que ƒ est négligeable devant g au voisinage de a si ∃ε:I→ℝ tel que (lim_x→a)(ε(x)=0) et ƒ(x)=g(x)×ε(x), ∀x∈I.
Par ailleurs, ici ε est une fonction.
Si g ne s'annule pas dans un voisinage de a, c'est équivalant à :

Équivalence

On écrit ƒ(x)~g(x) [x→a] et on lit ƒ est équivalente à g au voisinage de a si ƒ(x)-g(x)=ο(ƒ(x)) [x→a].
Si g ne s'annule pas, c'est équivalant à

• On écrit ƒ(x)=Ο(g(x)) [x→a] et on lit ƒ(x) est un grand O de g(x) au voisinage de a et on dit que ƒ est dominé par g au voisinage de a si ∃ƒ:I→ℝ bornée au voisinage de a tel que ƒ(x)=g(x)×b(x) ∀x∈I. Si c'est équivalent, alors ƒ/g est bornée au voisinage de a.

Exemple :

Si p<q sont deux entiers.

xq=ο(xp) [x→0] alors x3=o(x2) [x→0]

xp=ο(xq) [x→0] alors x2=ο(x3) [x→∞]

Utilisation de la notation de Landau

• Un o(ƒ) à gauche d'un signe = signifie que toute la fonction négligeable devant ƒ.

• Un o(ƒ) à droite d'un signe = signifie ∃ une fonction négligeable devant ƒ.

Exemples :

• o(x2)=o(x) [x→0] mais o(x) ≠o(x2) [x→0]

  ƒ(x)=o(x2) alors ƒ(x) = x2×ε(x)=x(x*ε(x)) →0 [x→0]=o(x) [x→0+]

• x√(,x)=o(x) mais x√(,x)≠o(x2) car (x√(,x))/(x2)=1/√(,x)→++∞ quand [x→0+]

Dans une expression du type o(ƒ(x))=ƒ(x)*o(1), deux o(ƒ(x)) désignent à priori des fonctions différentes.
o(ƒ)-o(ƒ)≠0 [x→a]
o(ƒ)-o(ƒ)=o(ƒ)

Exemples :

ƒ(x)*(ε_1)(x)-ƒ(x)*(ε_2)(x)
= ƒ(x)*((ε_1)(x)-(ε_2)(x)) sachant que ε(x)→0 et x→0

Alors : 2*o(ƒ)=o(ƒ)

Propriétés

Ici ☐ est une fonction

1. ☐~☐ [x→a] est une relation d'équations univalente (RST : Réflective Symétrique Transitive)

2. ☐=o(☐) [x→a] est transitive

3. Si {[(ƒ_1)~(ƒ_2)[x→a]],[(g_1)~(g_2)[x→a]])alors
   (ƒ_1)=o((g_1))⇔(ƒ_2)=o((g_2)) [x→a]

4. o(1)×O(1)=o(1)*[x→a]

5. Si g=o(ƒ)*[x→a] alors ƒ+g~ƒ [x→a]

6. Si ƒ=o(g)⇔|ƒ|=o(|g|)⇔∀λ∈ℝ+*ƒ=o(g)
   Attention, cette propriété est fausse pour les équivalences.

En effet : sin(1/x) ≁|sin(1/x)|*[x→0], si λ≠1, λ*ƒ≁ƒ.

Justifications

1. R : ƒ~ƒ car ƒ/ƒ=1→1*[x→a]
   S : ƒ~g⇔ƒ/g→1⇒g/ƒ→1/1=1⇒g~ƒ [x→a]
   T : {[ƒ~g],[g~h])⇔((ƒ_)/g→1,g/h→1)⇒ƒ/g×g/h→1⇒ƒ~h

2. En exercice

3. (ƒ_2)/(g_2)=(ƒ_2)/(ƒ_1)×(g_1)/(g_2)×(ƒ_1)/(g_1)→0 [x→a] car (lim_x→a)((ƒ_2)/(ƒ_1))=1, (lim_x→a)((g_1)/(g_2))=1 et (lim_x→a)((ƒ_1)/(g_1))=0
   Donc (ƒ_1)=o((g_1))⇒(ƒ_2)=o((g_2))

4. Fonction bornée ×Fonction de limite nulle =Fonction de limite nulle

5. C'est la définition

6. ƒ(x)=|ƒ(x)|×s(x) où s(x)∈{+1;-1}

Proposition

• Si {[(ƒ_1)~(g_2)],[(ƒ_2)~(g_2)])alors (ƒ_1)*(ƒ_2)~(g_1)*(g_2) et (ƒ_1)/(ƒ_2)~(g_1)/(g_2)

• Si α∈ℝ, ƒ et g sont positives au voisinage de a

• Si ƒ~g alors ƒα~gα

Exemples :

(x*sin5(x))/((1-cos(x))3)→8 [x→0]

car sin(x)~x, 1-cos(x)~(x2)/x

Donc, (x*sin5(x))/(1-(cos^3)(x))~(x×x5)/(((x2)/2)3)=23×(x6)/(x6)=8

Ainsi (x*sin5(x))/((1-cos(x))3)~8, donc (lim_x→0)((x*sin5(5))/((1-cos(x))3))=8

Attention {[(ƒ_1)~(g_1)],[(ƒ_2)~(g_2)])!⇒(ƒ_1)+(ƒ_2)~(g_1)+(g_2)

En effet, x~x2+x [x→0]

+x3-x~-x

=x3≁x2