Пункт 5

Парадокс Галиллея

"Парадокс" состоит в том, что квадратов натуральных чисел столько же, сколько самих натуральных чисел:

{[x2,x∈ℕ]}~ℕ

Доказывается очевидной биекцией x↔x2

Диагональный метод Кантора

Способ, которым Кантор доказал, что множество действительных чисел неравномощно множеству натуральных:

Докажем от противного, что множество [0;1)несчетно. Допустим, что мы выписали в табличку все действительные числа на отрезке по порядку. Тогда, можем закодировать их в двоичной системе счисления. Целая часть у всех чисел 0, ее просто откинем, а дробную переведем в двоичную систему. Получится такая таблица:

Тогда можем взять новое число, которое отличается в бите i это i-го элемента таблицы. Этого числа в табличке нет, так как оно отличается на бит от всех чисел в ней. Противоречие

Далее, можно доказать, что [0;1)~ℝ. ЧТД