Больше мяулога

69 (a)

Пусть A={a,b,c},

R={(a,a),(b,b),(c,c),(a,b),(b,a),(b,c),(c,a)}

69 (b)

Пусть A={a,b,c}

R={[(x,x),x∈A]}∪{(a,b),(b,c)}

58

Пусть X - множество строгих локальных максимумов функции. Тогда для каждой точки x∈X можно найти ее окрестность, в которой ƒ(x) является строгим максимумом. Получим набор интервалов: {…,((x_0),(x_1)),((x_1),(x_2)),…}. Дополним каждый из интервалов до полуинтервала: (a,b)→(a,b]. Пусть множество наших полуинтервалов - Q. Тогда, (⨆_^)(Q)=ℝ. Теперь для каждого q∈Q возьмем (используя аксиому выбора и плотность ℚ на ℝ) a∈ℚ:a∈q. Так как полуинтервалы не пересекаются, у нас есть инъекция из ℚ в Q, а значит и из ℕ в Q. По той же причине есть и инъекция из некоторого подмножества ℚ в Q, а значит и из некоторого подмножества ℕ в Q. Если сократим первую инъекцию до нужного подмножества ℕ, получим по теореме КБШ биекцию между каким-то подможеством ℕ и Q, а значит и биекцию между подмножеством ℕ и X. Следовательно, множество X не более чем счетно. ЧТД