Разложения

Задача 1

Записать в параметрическом виде общую формулу решения системы линейных уравнений

3 cases Case 1: x plus y minus z equals 1 Case 2: 2 y minus 3 z equals 2 Case 3: x minus y plus 2 z equals negative 1

Решение

the 3 by 3 matrix Row 1: 1 1 negative 1 Row 2: 0 2 negative 3 Row 3: 1 negative 1 2 is identical to the 3 by 3 matrix Row 1: 1 1 negative 1 Row 2: 0 negative 2 3 Row 3: 0 2 negative 3 is identical to the 3 by 3 matrix Row 1: 1 1 negative 1 Row 2: 0 1 negative three halves Row 3: 0 0 0 is identical to the 2 by 3 matrix Row 1: 1 0 one half Row 2: 0 1 negative three halves

Получаем что rank of A equals 2 , что меньше ее размерности, значит точного(единственного) решения не существует.

Для того что бы найти все существующие решения воспользуемся формулой общего решения через псеводобратную матрицу: script x equals A raised to the plus power script b minus open paren A raised to the plus power A minus E close paren times script y .

Найдем A raised to the plus power equals FG raised to the plus power equals the plus power of G the plus power of F . Матрица G уже была посчитана в начале решения. Матрица F equals the 3 by 2 matrix Row 1: 1 1 Row 2: 0 2 Row 3: 1 negative 1 для такой матрицы G .

the plus power of F equals open paren the asterisk power of F F close paren to the negative 1 power times the asterisk power of F

the asterisk power of F F equals the 2 by 3 matrix Row 1: 1 0 1 Row 2: 1 2 negative 1 times the 3 by 2 matrix Row 1: 1 1 Row 2: 0 2 Row 3: 1 negative 1 equals the 2 by 2 matrix Row 1: 2 0 Row 2: 0 6 comma open paren the asterisk power of F F close paren to the negative 1 power equals 1 over 12 times the 2 by 2 matrix Row 1: 6 0 Row 2: 0 2

the plus power of G equals the asterisk power of G times open paren G the asterisk power of G close paren to the negative 1 power

G the asterisk power of G equals the 2 by 3 matrix Row 1: 1 0 one half Row 2: 0 1 negative three halves times the 3 by 2 matrix Row 1: 1 0 Row 2: 0 1 Row 3: one half negative three halves equals the 2 by 2 matrix Row 1: five fourths negative three fourths Row 2: negative three fourths thirteen fourths comma open paren G the asterisk power of G close paren to the negative 1 power equals 16 over 56 times the 2 by 2 matrix Row 1: thirteen fourths three fourths Row 2: three fourths five fourths

the plus power of F equals 1 over 12 times the 2 by 2 matrix Row 1: 6 0 Row 2: 0 2 times the 2 by 3 matrix Row 1: 1 0 1 Row 2: 1 2 negative 1 equals 1 over 12 times the 2 by 3 matrix Row 1: 6 0 6 Row 2: 2 4 negative 2 equals one sixth times the 2 by 3 matrix Row 1: 3 0 3 Row 2: 1 2 negative 1

the plus power of G equals 16 over 56 times the 3 by 2 matrix Row 1: 1 0 Row 2: 0 1 Row 3: one half negative three halves times the 2 by 2 matrix Row 1: thirteen fourths three fourths Row 2: three fourths five fourths equals two sevenths times the 3 by 2 matrix Row 1: thirteen fourths three fourths Row 2: three fourths five fourths Row 3: four eighths negative three halves equals 1 over 14 times the 3 by 2 matrix Row 1: 13 3 Row 2: 3 5 Row 3: 2 negative 6

A raised to the plus power equals the plus power of G the plus power of F equals 1 over 86 times the 3 by 2 matrix Row 1: 13 3 Row 2: 3 5 Row 3: 2 negative 6 times the 2 by 3 matrix Row 1: 3 0 3 Row 2: 1 2 negative 1 equals 1 over 86 times the 3 by 3 matrix Row 1: 42 6 36 Row 2: 14 10 4 Row 3: 0 negative 12 12

equals 1 over 42 times the 3 by 3 matrix Row 1: 21 3 18 Row 2: 7 5 2 Row 3: 0 negative 6 6

A raised to the plus power script b equals 1 over 42 times the 3 by 3 matrix Row 1: 21 3 18 Row 2: 7 5 2 Row 3: 0 negative 6 6 times the 3 by 1 column matrix 1 2 negative 1 equals 1 over 42 times the 3 by 1 column matrix 9 15 negative 18

A raised to the plus power A minus E equals 1 over 42 times the 3 by 3 matrix Row 1: 21 3 18 Row 2: 7 5 2 Row 3: 0 negative 6 6 times the 3 by 3 matrix Row 1: 1 1 negative 1 Row 2: 0 2 negative 3 Row 3: 1 negative 1 2 minus E equals 1 over 42 the 3 by 3 matrix Row 1: 39 9 6 Row 2: 9 15 negative 18 Row 3: 6 negative 18 30 minus

negative 42 over 42 E equals 1 over 42 times the 3 by 3 matrix Row 1: negative 3 9 6 Row 2: 9 negative 27 negative 18 Row 3: 6 negative 18 negative 12 equals 1 over 14 times the 3 by 3 matrix Row 1: negative 1 3 2 Row 2: 3 negative 9 negative 6 Row 3: 2 negative 6 negative 4

Итого получаем следующую формулу общего решения системы:

the 3 by 1 column matrix script x sub 1 script x sub 2 script x sub 3 equals 1 over 42 times the 3 by 1 column matrix 9 15 negative 18 minus 1 over 14 times the 3 by 3 matrix Row 1: negative 1 3 2 Row 2: 3 negative 9 negative 6 Row 3: 2 negative 6 negative 4 times the 3 by 1 column matrix script y sub 1 script y sub 2 script y sub 3

Задача 2

Найти LU разложение для матрицы

A equals the 3 by 3 matrix Row 1: 2 3 4 Row 2: negative 1 negative 2 negative 3 Row 3: 0 0 1

т.е. представить ее в виде произведения L U для нижнетреугольной матрицы L с единицами на диагонали и верхнетреугольной матрицы U. Решить с помощью этого разложения систему уравнений:

A script x equals the 3 by 1 column matrix 1 negative 1 1

Решение

Так как матрица A квадратная, и не вырожденная(легко видеть что 3 строка независима с первыми двумя, а они, в свою очередь, не пропорциональны друг другу), а так же ее угловые миноры не вырождены, то для нее существует L U разложение.

the 3 by 3 matrix Row 1: 2 3 4 Row 2: negative 1 negative 2 negative 3 Row 3: 0 0 1 equals A equals L U equals the 3 by 3 matrix Row 1: 1 0 0 Row 2: l sub 21 1 0 Row 3: l sub 31 l sub 32 1 times the 3 by 3 matrix Row 1: u sub 11 u sub 12 u sub 13 Row 2: 0 u sub 22 u sub 23 Row 3: 0 0 u sub 24

Из этого равенства выпишем все соотношения для элементов l sub times times и u sub times times

u sub 11 equals 2 semicolon u sub 12 equals 3 semicolon u sub 13 equals 4 - первая строчка матрицы A

u sub 11 l sub 21 equals negative 1 left right double arrow 2 l sub 21 equals negative 1 left right double arrow l sub 21 equals negative one half

u sub 12 l sub 21 plus u sub 22 equals negative 2 left right double arrow negative three halves plus u sub 22 equals negative 2 left right double arrow u sub 22 equals negative one half

u sub 13 l sub 21 plus u sub 23 equals negative 3 left right double arrow negative four halves plus u sub 23 equals negative 3 left right double arrow u sub 23 equals negative 1

Заполнили 2 строчку матрицы A

u sub 11 l sub 31 equals 0 left right double arrow 2 l sub 31 equals 0 left right double arrow l sub 31 equals 0

u sub 12 l sub 31 plus u sub 22 l sub 32 equals 0 left right double arrow 3 times 0 minus one half l sub 32 equals 0 left right double arrow l sub 32 equals 0

u sub 13 l sub 31 plus u sub 23 l sub 32 plus u sub 24 equals 1 left right double arrow 4 times 0 minus 0 plus u sub 24 equals 1 left right double arrow u sub 24 equals 1

Заполнили 3 строку и всю матрицу A. Можно записать результат:

A equals the 3 by 3 matrix Row 1: 1 0 0 Row 2: negative one half 1 0 Row 3: 0 0 1 times the 3 by 3 matrix Row 1: 2 3 4 Row 2: 0 negative one half negative 1 Row 3: 0 0 1

Теперь решим при помощи этого систему A script x equals script b

A script x equals L U script x equals script b left right double arrow L script y equals script b commaгде script y equals U script x

L script y equals script b left right double arrow the 3 by 3 matrix Row 1: 1 0 0 Row 2: negative one half 1 0 Row 3: 0 0 1 times the 3 by 1 column matrix script y sub 1 script y sub 2 script y sub 3 equals the 3 by 1 column matrix 1 negative 1 1

3 cases Case 1: script y sub 1 equals 1 Case 2: negative one half script y sub 1 plus script y sub 2 equals negative 1 Case 3: script y sub 3 equals 1 left right double arrow the 3 by 1 column matrix script y sub 3 script y sub 2 script y sub 1 equals the 3 by 1 column matrix 1 negative one half 1

Теперь зная это решение, решим систему U script x equals script y

U script x equals script y left right double arrow the 3 by 3 matrix Row 1: 2 3 4 Row 2: 0 negative one half negative 1 Row 3: 0 0 1 times the 3 by 1 column matrix script x sub 1 script x sub 2 script x sub 3 equals the 3 by 1 column matrix 1 negative one half 1

3 cases Case 1: 2 script x sub 1 plus 3 script x sub 2 plus 4 script x sub 3 equals 1 Case 2: negative one half script x sub 2 minus script x sub 3 equals negative one half Case 3: script x sub 3 equals 1 left right double arrow 3 cases Case 1: script x sub 1 equals 0 Case 2: script x sub 2 equals negative 1 Case 3: script x sub 3 equals 1 left right double arrow the 3 by 1 column matrix script x sub 1 script x sub 2 script x sub 3 equals the 3 by 1 column matrix 0 negative 1 1

Задача 3

Убедиться, что следующая матрица эрмитова с неотрицательными собственными значениями, и найти ее разложение Холецкого(вида R raised to the asterisk power R, где R верхнетреугольная матрица с неотрицательными собственными значениями) для матрицы

A equals the 2 by 2 matrix Row 1: 1 3 Row 2: 3 25

Решение

Так как матрица A is a member of Mat of open paren the real numbers close paren то она эрмитова left right double arrow она симетрична. Так как a sub 12 equals 3 equals a sub 21 для матрицы A это верно.

Так как матрица эрмитова, то ее положительная определенность равносильна тому что все собственные вектора положительны. Проверить положительную определенность можно через критерий сильвестра:

the absolute value of 1 equals 1

the determinant of the 2 by 2 matrix Row 1: 1 3 Row 2: 3 25 equals 25 minus 9 equals 16

Критерий Сильвестра выполнен, а значит все собственные значения положительны. Теперь найдем разложение Холецкого.

the 2 by 2 matrix Row 1: 1 3 Row 2: 3 25 equals A equals R raised to the asterisk power R equals the 2 by 2 matrix Row 1: r sub 11 0 Row 2: r sub 21 r sub 22 times the 2 by 2 matrix Row 1: r sub 11 r sub 21 Row 2: 0 r sub 22

Из этого соотношения имеем:

r sub 11 squared equals 1 right double arrow r sub 11 equals 1

r sub 11 r sub 21 equals 3 left right double arrow r sub 21 equals 3

Мы заполнили 1 строчку матрицы

r sub 21 r sub 11 equals 3 left right double arrow 3 equals 3 - верно

r sub 21 squared plus r sub 22 squared equals 25 left right double arrow 9 plus r sub 22 squared equals 25 left right double arrow r sub 22 squared equals 16 right double arrow r sub 22 equals 4

Мы заполнили 2 строку матрицы. Теперь можно составить полное выражение:

A equals

Задача 4

Найти QR-разложение следующей матрицы:

A equals the 3 by 3 matrix Row 1: 1 negative 1 5 Row 2: negative 2 0 negative 3 Row 3: 2 negative 1 negative 7

(где матрица Q - ортогональная, а R - верхнетреугольная)

Решение

Так как матрица A квадратная, то матрица Q будет унитарной, в следствии этого. Это упростит вычисление матрицы R.

Что бы найти матрицу Q, для начала ортогонализируем столбцы матрицы A. Для этого применим процесс ортогонализации Грамма-Шмидта:

A right arrow sub 1 equals the 3 by 1 column matrix 1 negative 2 2 comma A right arrow sub 2 equals the 3 by 1 column matrix negative 1 0 negative 1 comma A right arrow sub 3 equals the 3 by 1 column matrix 5 negative 3 negative 7

the metric of A right arrow sub 1 equals the square root of 9 equals 3 comma the metric of A right arrow sub 2 equals the square root of 2 comma the metric of A right arrow sub 3 equals the square root of 83

E right arrow sub 1 equals the fraction with numerator A right arrow sub 1 and denominator the metric of A right arrow sub 1 equals one third times the 3 by 1 column matrix 1 negative 2 2

B right arrow sub 2 equals A right arrow sub 2 minus proj sub B right arrow sub 1 of open paren A right arrow sub 2 close paren equals the 3 by 1 column matrix negative 1 0 negative 1 minus the fraction with numerator left angle bracket A right arrow sub 2 comma B right arrow sub 1 right angle bracket and denominator the metric of B right arrow sub 1 squared B right arrow sub 1 equals the 3 by 1 column matrix negative 1 0 negative 1 minus negative 3 over 9 times the 3 by 1 column matrix 1 negative 2 2 equals

equals the 3 by 1 column matrix negative 1 0 negative 1 plus one third times the 3 by 1 column matrix 1 negative 2 2 equals the 3 by 1 column matrix negative two thirds negative two thirds negative one third semicolon the metric of B right arrow sub 2 equals the square root of 1 equals 1 right double arrow E right arrow sub 2 equals B right arrow sub 2

B right arrow sub 3 equals A right arrow sub 3 minus proj sub B right arrow sub 1 of open paren A right arrow sub 3 close paren minus proj sub B right arrow sub 2 of open paren A right arrow sub 3 close paren equals the 3 by 1 column matrix 5 negative 3 negative 7 minus the fraction with numerator left angle bracket A right arrow sub 3 comma B right arrow sub 1 right angle bracket and denominator the metric of B right arrow sub 1 squared B right arrow sub 1 minus the fraction with numerator left angle bracket A right arrow sub 3 comma B right arrow sub 2 right angle bracket and denominator the metric of B right arrow sub 2 squared B right arrow sub 2 equals

equals the 3 by 1 column matrix 5 negative 3 negative 7 minus negative 3 over 9 times the 3 by 1 column matrix 1 negative 2 2 minus one third times the 3 by 1 column matrix negative 2 negative 2 1 equals one third times open paren the 3 by 1 column matrix 15 negative 9 negative 21 plus the 3 by 1 column matrix 1 negative 2 2 plus the 3 by 1 column matrix 2 2 1 close paren equals one third times the 3 by 1 column matrix 18 negative 9 negative 18 equals

equals the 3 by 1 column matrix 6 negative 3 negative 6 semicolon the metric of B right arrow sub 3 equals the square root of 81 equals 9 right double arrow E right arrow sub 3 equals the 3 by 1 column matrix two thirds negative one third negative two thirds

Теперь из полученных столбцов можно составить ортогональную матрицу Q:

Q equals one third times the 3 by 3 matrix Row 1: 1 negative 2 2 Row 2: negative 2 negative 2 negative 1 Row 3: 2 negative 1 negative 2 right double arrow Q raised to the asterisk power equals Q- так как матрица Q симметрична и действительна

Так как Q - унитарная матрица, то A equals Q R right double arrow R equals Q to the negative 1 power A equals Q raised to the asterisk power A

R equals Q raised to the asterisk power A equals one third times the 3 by 3 matrix Row 1: 1 negative 2 2 Row 2: negative 2 negative 2 negative 1 Row 3: 2 negative 1 negative 2 times 3 lines Line 1: 1 negative 1 5 Line 2: negative 2 0 negative 3 Line 3: 2 negative 1 negative 7 equals one third times the 3 by 3 matrix Row 1: 9 negative 3 negative 3 Row 2: 0 3 3 Row 3: 0 0 27 equals the 3 by 3 matrix Row 1: 3 negative 1 negative 1 Row 2: 0 1 1 Row 3: 0 0 9

Можно записать разложение в финальной форме:

A equals Q R equals one third times the 3 by 3 matrix Row 1: 1 negative 2 2 Row 2: negative 2 negative 2 negative 1 Row 3: 2 negative 1 negative 2 times the 3 by 3 matrix Row 1: 3 negative 1 negative 1 Row 2: 0 1 1 Row 3: 0 0 9

Задача 5

Убедиться что следующая матрица эрмитова и найти ее спектральное разложение:

A equals the 3 by 3 matrix Row 1: Column 1, 1 Column 2, 1 plus i Column 3, 0 Row 2: Column 1, 1 minus i Column 2, 2 Column 3, 0 Row 3: Column 1, 0 Column 2, 0 Column 3, 3

Найти обратную матрицу при помощи спектрального разложения

Решение

Матрица эрмитова left right double arrow A raised to the asterisk power equals A bar raised to the cap T power equals A. Проверим это для данной матрицы:

A raised to the asterisk power equals the 3 by 3 matrix Row 1: Column 1, 1 Column 2, 1 plus i Column 3, 0 Row 2: Column 1, 1 minus i Column 2, 2 Column 3, 0 Row 3: Column 1, 0 Column 2, 0 Column 3, 3 equals A

Так как матрица эрмитова, то она нормально а значит для нее существует спектральное разложение, и при этом матрица перехода к диагональному базису унитарна.

Найдем собственные значения оператора script A:

the determinant of open paren t E minus A close paren equals the determinant of open paren the 3 by 3 matrix Row 1: Column 1, t minus 1 Column 2, negative 1 minus i Column 3, 0 Row 2: Column 1, i minus 1 Column 2, t minus 2 Column 3, 0 Row 3: Column 1, 0 Column 2, 0 Column 3, t minus 3 close paren equals open paren t minus 3 close paren times the determinant of the 2 by 2 matrix Row 1: Column 1, t minus 1 Column 2, negative 1 minus i Row 2: Column 1, i minus 1 Column 2, t minus 2 equals

equals open paren t minus 3 close paren times open paren open paren t minus 1 close paren times open paren t minus 2 close paren plus open paren i plus 1 close paren times open paren i minus 1 close paren close paren equals open paren t minus 3 close paren times open paren t squared minus 3 t plus 2 minus 2 close paren equals

equals t times open paren t minus 3 close paren squared right double arrowСобственными значениями оператора script Aявляются: sigma of script A equals the set 0 comma 3 commaпричем 3 имеет алгебраическую кратность равную 2 periodТеперь найдем собственные вектора оператора:

open paren A minus lamda sub 1 E close paren times script x equals 0 left right double arrow open paren A minus 0 E close paren times script x equals 0 left right double arrow A script x equals 0

the 3 by 3 matrix Row 1: Column 1, 1 Column 2, 1 plus i Column 3, 0 Row 2: Column 1, 1 minus i Column 2, 2 Column 3, 0 Row 3: Column 1, 0 Column 2, 0 Column 3, 3 is identical to the 3 by 3 matrix Row 1: Column 1, 1 Column 2, 1 plus i Column 3, 0 Row 2: Column 1, 0 Column 2, 0 Column 3, 0 Row 3: Column 1, 0 Column 2, 0 Column 3, 1 is identical to the 2 by 3 matrix Row 1: Column 1, 1 Column 2, 1 plus i Column 3, 0 Row 2: Column 1, 0 Column 2, 0 Column 3, 1

Phi sub lamda sub 1 of open paren the 2 by 3 matrix Row 1: Column 1, 1 Column 2, 1 plus i Column 3, 0 Row 2: Column 1, 0 Column 2, 0 Column 3, 1 close paren equals the set the 3 by 1 column matrix Row 1: negative 2 Row 2: 1 minus i Row 3: 0

open paren A minus lamda sub 2 E close paren times script x equals 0 left right double arrow open paren A minus 3 E close paren times script x equals 0 left right double arrow the 3 by 3 matrix Row 1: Column 1, negative 2 Column 2, 1 plus i Column 3, 0 Row 2: Column 1, 1 minus i Column 2, negative 1 Column 3, 0 Row 3: Column 1, 0 Column 2, 0 Column 3, 0 times script x equals 0

the 3 by 3 matrix Row 1: Column 1, negative 2 Column 2, 1 plus i Column 3, 0 Row 2: Column 1, 1 minus i Column 2, negative 1 Column 3, 0 Row 3: Column 1, 0 Column 2, 0 Column 3, 0 is identical to the 2 by 3 matrix Row 1: Column 1, negative 2 Column 2, 1 plus i Column 3, 0 Row 2: Column 1, 2 Column 2, negative 1 minus i Column 3, 0 is identical to the 1 by 3 row matrix Column 1: negative 2 Column 2: 1 plus i Column 3: 0

Phi sub lamda sub 2 of open paren the 1 by 3 row matrix Column 1: negative 2 Column 2: 1 plus i Column 3: 0 close paren equals the set the 3 by 1 column matrix 0 0 1 comma the 3 by 1 column matrix Row 1: 1 Row 2: 1 minus i Row 3: 0

Так как для каждого собственного значения оператора script A его алегбраическая кратность равна геометрической кратности, то матрицу можно диагонализировать.

Выберем один из диагональных базисов для матрицы A. Сама матрица будет выглядеть как:Sigma equals the 3 by 3 matrix Row 1: 3 0 0 Row 2: 0 3 0 Row 3: 0 0 0. Тогда матрица перехода к этому базису будет записана так: V equals the 3 by 3 matrix Row 1: Column 1, 0 Column 2, 1 Column 3, negative 2 Row 2: Column 1, 0 Column 2, 1 minus i Column 3, 1 minus i Row 3: Column 1, 1 Column 2, 0 Column 3, 0

Вспомним, что матрица A эрмитова. Это значит что собственные пространства - натянутые на собственные вектора, ортогональны друг другу: left angle bracket Phi sub lamda sub 1 right angle bracket perpendicular left angle bracket Phi sub lamda sub 2 right angle bracket. Но так как у нас есть собственное значение lamda sub 2 equals 3, геометрическая кратность которого равна 2, нужно проверить что полученные базисные вектора пространства Phi sub lamda sub 2 ортогональны друг другу:

left angle bracket the 3 by 1 column matrix 0 0 1 comma the 3 by 1 column matrix Row 1: 1 Row 2: 1 minus i Row 3: 0 right angle bracket equals 0 period В силу устройства 1 вектора это довольно очевидно, а значит базис из вектор-столбцов матрицы V ортогональный, поэтому можно пропустить процесс ортогонализации и сразу нормировать столбцы матрицы V

E right arrow sub 1 equals the fraction with numerator V right arrow sub 1 and denominator the metric of V right arrow sub 1 equals the 3 by 1 column matrix 0 0 1 semicolon E right arrow sub 2 equals the fraction with numerator V right arrow sub 2 and denominator the metric of V right arrow sub 2 equals the fraction with numerator 1 and denominator the square root of 3 times the 3 by 1 column matrix Row 1: 1 Row 2: 1 minus i Row 3: 0 semicolon E right arrow sub 3 equals the fraction with numerator V right arrow sub 3 and denominator the metric of V right arrow sub 3 equals the fraction with numerator 1 and denominator the square root of 6 times the 3 by 1 column matrix Row 1: negative 2 Row 2: 1 minus i Row 3: 0

Запишем унитарную матрицу U:

U equals the fraction with numerator 1 and denominator the square root of 6 times the 3 by 3 matrix Row 1: Column 1, 0 Column 2, the square root of 2 Column 3, negative 2 Row 2: Column 1, 0 Column 2, the square root of 2 minus the square root of 2 i Column 3, 1 minus i Row 3: Column 1, the square root of 6 Column 2, 0 Column 3, 0 right double arrow U raised to the asterisk power equals the fraction with numerator 1 and denominator the square root of 6 times the 3 by 3 matrix Row 1: Column 1, 0 Column 2, 0 Column 3, the square root of 6 Row 2: Column 1, the square root of 2 Column 2, the square root of 2 the square root of 2 i Column 3, 0 Row 3: Column 1, negative 2 Column 2, 1 plus i Column 3, 0

Теперь запишем окончательный вид разложения:

A equals U Sigma U raised to the asterisk power equals one half times the 3 by 3 matrix Row 1: Column 1, 0 Column 2, the square root of 2 Column 3, negative 2 Row 2: Column 1, 0 Column 2, the square root of 2 minus the square root of 2 i Column 3, 1 minus i Row 3: Column 1, the square root of 6 Column 2, 0 Column 3, 0 times the 3 by 3 matrix Row 1: 1 0 0 Row 2: 0 1 0 Row 3: 0 0 0 times the 3 by 3 matrix Row 1: Column 1, 0 Column 2, 0 Column 3, the square root of 6 Row 2: Column 1, the square root of 2 Column 2, the square root of 2 plus the square root of 2 i Column 3, 0 Row 3: Column 1, negative 2 Column 2, 1 i Column 3, 0

Так как rank of A equals 2(в этом мы убедились когда находили один из 3 собственных векторов), то возможно найти только лишь псевдообратную матрицу.

Из свойств спектрального разложения: A raised to the plus power equals open paren U Sigma U raised to the asterisk power close paren raised to the exponent plus end exponent equals U Sigma raised to the plus power U raised to the asterisk power - так как сопряжение элемента в группе уважает степени. Но найти псевдообратную матрицу для диагональной легко:

Sigma raised to the plus power equals the 3 by 3 matrix Row 1: 1 0 0 Row 2: 0 1 0 Row 3: 0 0 0 - это просто обратные числа для всех не нулевых диагональных элементов

Задача 6

Найти сингулярное разложение матрицы A

A equals the 3 by 2 matrix Row 1: 1 1 Row 2: 2 2 Row 3: 3 3

Вычислить псевдообратную матрицу к A используя сингулярное разложение

Решение

Для начала найдем сингулярные числа матрицы A. По определению число sigma называется сингулярным, если существуют вектора script v и script u, такие что: A script v equals sigma script u и A raised to the asterisk power script u equals sigma script v. Тогда для матрицы A raised to the asterisk power A сингулярные числа это корни из собственных значений:

A raised to the asterisk power A script v equals A raised to the asterisk power times sigma script u equals sigma A raised to the asterisk power script u equals sigma sigma script v equals sigma squared script v

A raised to the asterisk power A equals the 2 by 3 matrix Row 1: 1 2 3 Row 2: 1 2 3 times the 3 by 2 matrix Row 1: 1 1 Row 2: 2 2 Row 3: 3 3 equals the 2 by 2 matrix Row 1: 14 14 Row 2: 14 14

the determinant of open paren the 2 by 2 matrix Row 1: Column 1, t minus 14 Column 2, negative 14 Row 2: Column 1, negative 14 Column 2, t minus 14 close paren equals open paren t minus 14 close paren squared minus 196 equals t squared minus 28 t plus 196 minus 196 equals t times open paren t minus 28 close paren

Следовательно получим следующие собственные значения: lamda sub 1 equals 0 comma lamda sub 2 equals 28 period

Соответственными сингулярными значениями будут: sigma sub 1 equals 0 comma sigma sub 2 equals 2 the square root of 7

Эти числа составляют диагональ матрицы Sigma equals the 2 by 3 matrix Row 1: Column 1, 2 the square root of 7 Column 2, 0 Column 3, 0 Row 2: Column 1, 0 Column 2, 0 Column 3, 0

Что бы найти оставшиеся матрицы, нужно найти собственные векторы script u и script v для сингулярных чисел. Вектор script u называется левым сингулярным и входит в матрицу U, а вектор script v правым сингулярным и входит в матрицу V.

Найдем все правые сингулярные вектора. Исходя из того что A raised to the asterisk power A script v equals sigma squared script v, правые сингулярные вектора являются собственными для матрицы A raised to the asterisk power A.

open paren A raised to the asterisk power A minus lamda sub 1 E close paren times script v equals 0 left right double arrow open paren A raised to the asterisk power A minus 0 E close paren times script v equals 0 left right double arrow A raised to the asterisk power A script v equals 0

the 2 by 2 matrix Row 1: 14 14 Row 2: 14 14 is identical to the 2 by 2 matrix Row 1: 1 1 Row 2: 1 1 is identical to the 1 by 2 row matrix 1 1 right double arrow Phi sub lamda sub 1 of open paren the 1 by 2 row matrix 1 1 close paren equals the set the 2 by 1 column matrix negative 1 1

open paren A raised to the asterisk power A minus lamda sub 2 E close paren times script v equals 0 left right double arrow open paren A raised to the asterisk power A minus 28 E close paren times script v equals 0

the 2 by 2 matrix Row 1: negative 14 14 Row 2: 14 negative 14 is identical to the 1 by 2 row matrix 1 negative 1 right double arrow Phi sub lamda sub 2 of open paren the 1 by 2 row matrix 1 negative 1 close paren equals the set the 2 by 1 column matrix 1 1

Что бы полученная из них матрица V была ортонормированной, нормируем вектора(они ортогональны тк из разных собственных пространств эрмитовой матрицы A raised to the asterisk power A)

V right arrow sub 1 equals the fraction with numerator 1 and denominator the square root of 2 times the 2 by 1 column matrix negative 1 1, V right arrow sub 2 equals the fraction with numerator 1 and denominator the square root of 2 times the 2 by 1 column matrix 1 1

Теперь что бы найти левые сингулярные вектора воспользуемся соотношением(обратным к тому что выведено в начале задачи):

sigma A script v equals sigma squared script u left right double arrow A script v equals sigma script u. Если sigma is not equal to 0 то можно вектор script u equals A script v over sigma.

После этого дополним до ортонормированного базиса в пространстве векторов матрицы A те вектора которые мы смогли посчитать.

U equals the 3 by 2 matrix Row 1: 1 1 Row 2: 2 2 Row 3: 3 3 times the 2 by 1 column matrix 1 1 over 2 the square root of 7 equals 1 over 2 the square root of 7 times the 3 by 1 column matrix 2 4 6 equals the fraction with numerator 1 and denominator the square root of 7 times the 3 by 1 column matrix 1 2 3 times 1; U right arrow sub 1 equals the fraction with numerator 1 and denominator the square root of 14 times the 3 by 1 column matrix 1 2 3

Теперь нам нужно дополнить базис пространства матрицы U еще 2 ортогональными векторами. Можно было бы взять стандартный базис и провести процесс ортогонализации Грамма-Шмидта, но здесь можно увидеть 2 подходящих базисных вектора:

U right arrow sub 2 equals the fraction with numerator 1 and denominator the square root of 3 times the 3 by 1 column matrix 1 1 negative 1 и U right arrow sub 3 equals the fraction with numerator 1 and denominator the square root of 3 times 14 times the 3 by 1 column matrix 5 negative 4 1

Теперь мы можем составить унитарную матрицу V и унитарную матрицу U

U equals the fraction with numerator 1 and denominator the square root of 42 times the 3 by 3 matrix Row 1: Column 1, the square root of 3 Column 2, blank Column 3, blank Row 2: Column 1, 2 the square root of 3 Column 2, blank Column 3, blank Row 3: Column 1, 3 the square root of 3 Column 2, blank Column 3, blank