"Введение в матанализ", Производная

Задача 32

Условие

Найти производную: y=(log_x)(2^x)=ƒ(x)

Решение

ƒ(x)=ln(2^x)/ln(x)=(x*ln(2))/ln(x)=x/(log_2)(x)

(ƒ^′)(x)=((log_2)(x)-((log_2)(x))′*x)/(log_2^2)(x)=((log_2)(x)-1/(ln(2)*x)*x)/(log_2^2)(x)=(ln(x)/ln(2)-1/ln(2))/(ln(x)/ln(2)⋅(log_2)(x))=(ln(x)-1)/(ln(x)⋅(log_2)(x))

Ответ: (ln(x)-1)/(ln(x)⋅(log_2)(x)),x>0,x≠1

Задача 74

Условие

Найти производную: y=√(,1+tan(x^2+x^(-2)))=ƒ(x)

Решение

(ƒ^′)(x)=1/2*(1+tan(x^2+x^(-2)))^(-1/2)⋅(1+tan(x^2+x^(-2)))′=

=1/(2√(,1+tan(x^2+x^(-2))))⋅(tan^′)(x^2+x^(-2))⋅(x^2+x^(-2))′=

=1/(2√(,1+tan(x^2+x^(-2))⋅cos^2(x^2+x^(-2))))⋅2*(x-1/(x^3))=

=(x^4-1)/(x^3√(,1+tan(x^2+x^(-2)))⋅cos(x^2+x^(-2)))

Ответ: (x^4-1)/(x^3√(,1+tan(x^2+x^(-2)))⋅cos(x^2+x^(-2)))

Задача 117

Условие

Найти производную: y=x/√(,ℇ^(2*x)-1)-arctan(√(,ℇ^(2*x)-1))=ƒ(x)

Решение

(ℇ^(2*x)-1)′=(ℇ^(2*x))′=2*ℇ^(2*x)

(√(,ℇ^(2*x)-1))′=(ℇ^(2*x))/√(,ℇ^(2*x)-1)

(x/√(,ℇ^(2*x)-1))′=(√(,ℇ^(2*x)-1)-(ℇ^(2*x))/√(,ℇ^(2*x)-1)*x)/(ℇ^(2*x)-1)

(arctan(√(,ℇ^(2*x)-1)))′=1/(1+ℇ^(2*x)-1)⋅(ℇ^(2*x))/√(,ℇ^(2*x)-1)=1/√(,ℇ^(2*x)-1)

(ƒ^′)(x)=(-(ℇ^(2*x))/√(,ℇ^(2*x)-1)*x)/(ℇ^(2*x)-1)=(-x*ℇ^(2*x))/√(,(ℇ^(2*x)-1)^3)

Ответ: (-x*ℇ^(2*x))/√(,(ℇ^(2*x)-1)^3)

Задача 149

Условие

Найти производную: y=x^(x^x)=ƒ(x)

Решение

(x^x)′=x^x⋅(ln(x)⋅x)′=x^x⋅(1+ln(x))

(ƒ^′)(x)=[x^(x^x)]′=x^(x^x)⋅(ln(x)⋅x^x)′=x^(x^x)⋅(x^(x-1)+ln(x)[x^x]′)=

=x^(x^x)⋅(x^(x-1)+ln(x)⋅x^x⋅(ln(x)+1))

Ответ: x^(x^x)⋅(x^(x-1)+ln(x)⋅x^x⋅(ln(x)+1))

Теорема 3.

Условие

Найти производную, не упрощая: y=((arcsin(√(,x))+cos^2(3*x-1))/(5^(x^3)+ln^2(1+ℇ^x)))^(x^2*cosh(x))

Решение

(Здесь придется листать вправо, прошу прощения)(y^′)=((arcsin(√(,x))+cos^2(3*x-1))/(5^(x^3)+ln^2(1+ℇ^x)))^(x^2*cosh(x))⋅(ln((arcsin(√(,x))+cos^2(3*x-1))/(5^(x^3)+ln^2(1+ℇ^x)))⋅x^2*cosh(x))′=

=((arcsin(√(,x))+cos^2(3*x-1))/(5^(x^3)+ln^2(1+ℇ^x)))^(x^2*cosh(x))⋅(ln((arcsin(√(,x))+cos^2(3*x-1))/(5^(x^3)+ln^2(1+ℇ^x)))⋅(2*x*cosh(x)+x^2*sinh(x))+x^2*cosh(x)⋅(5^(x^3)+ln^2(1+ℇ^x))/(arcsin(√(,x))+cos^2(3*x-1))⋅((arcsin(√(,x))+cos^2(3*x-1))⋅(5^(x^3)⋅(3⋅ln(5))+2⋅ln((1+ℇ^x))⋅1/(1+ℇ^x)⋅ℇ^x)-(5^(x^3)+ln^2(1+ℇ^x))⋅(1/√(,1-x)⋅1/√(,x)+2*cos(3*x-1)⋅-sin(3*x-1)⋅3))/((5^(x^3)+ln^2(1+ℇ^x))^2))