Find the Inverse

Problem

[[√(,5),2√(,6),−1],[−2√(,5),√(,6),2],[√(,5),0,5]]

Solution

1. Calculate the determinant of the matrix A using cofactor expansion along the third row.

|A|=√(,5)*((2√(,6))*(2)−(√(,6))*(−1))−0+5*((√(,5))*(√(,6))−(−2√(,5))*(2√(,6)))

|A|=√(,5)*(4√(,6)+√(,6))+5*(√(,30)+4√(,30))

|A|=√(,5)*(5√(,6))+5*(5√(,30))

|A|=5√(,30)+25√(,30)=30√(,30)

2. Find the matrix of minors by calculating the determinant of the 2×2 matrix remaining after removing the row and column of each element.

(M_11)=(√(,6))*(5)−(0)*(2)=5√(,6)

(M_12)=(−2√(,5))*(5)−(√(,5))*(2)=−12√(,5)

(M_13)=(−2√(,5))*(0)−(√(,5))*(√(,6))=−√(,30)

(M_21)=(2√(,6))*(5)−(0)*(−1)=10√(,6)

(M_22)=(√(,5))*(5)−(√(,5))*(−1)=6√(,5)

(M_23)=(√(,5))*(0)−(√(,5))*(2√(,6))=−2√(,30)

(M_31)=(2√(,6))*(2)−(√(,6))*(−1)=5√(,6)

(M_32)=(√(,5))*(2)−(−2√(,5))*(−1)=0

(M_33)=(√(,5))*(√(,6))−(−2√(,5))*(2√(,6))=5√(,30)

3. Apply the cofactor signs using the pattern +−+ to create the cofactor matrix C

C=[[5√(,6),12√(,5),−√(,30)],[−10√(,6),6√(,5),2√(,30)],[5√(,6),0,5√(,30)]]

4. Transpose the cofactor matrix to find the adjugate matrix adj(A)

adj(A)=[[5√(,6),−10√(,6),5√(,6)],[12√(,5),6√(,5),0],[−√(,30),2√(,30),5√(,30)]]

5. Divide by the determinant |A|=30√(,30) to find A^(−1)

A^(−1)=1/(30√(,30))*[[5√(,6),−10√(,6),5√(,6)],[12√(,5),6√(,5),0],[−√(,30),2√(,30),5√(,30)]]

6. Simplify each entry using the identity √(,30)=√(,5)√(,6)

(5√(,6))/(30√(,30))=1/(6√(,5))=√(,5)/30

(12√(,5))/(30√(,30))=2/(5√(,6))=(2√(,6))/30=√(,6)/15

√(,30)/(30√(,30))=1/30

Final Answer

[[√(,5),2√(,6),−1],[−2√(,5),√(,6),2],[√(,5),0,5]]^(−1)=[[√(,5)/30,−√(,5)/15,√(,5)/30],[√(,6)/15,√(,6)/30,0],[−1/30,1/15,1/6]]

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