"Введение в матанализ", Предел функции

Задача 1 (1)

Условие

Определить, при каких положительных значениях δ из неравенства 0<|x-(x_0)|<δ следует неравенство |ƒ(x)-a|<ε, если ƒ(x)=x^2,(x_0)=2,a=4,ε=10^(-3)

Решение

|x^2-4|<10^(-3)

4-10^(-3)<x^2<4+10^(-3)

√(,a-ε)<±x<√(,a+ε)

При δ≤|√(,a)-√(,a+ε)|

Задача 2

Определить, при каких положительных значениях δ из неравенства |x-1|<δ следует неравенство:

1. |lg(x)|<2 ⇒ 10^(-2)<x<10^2⇒δ≥|1-10^2|=99

2. |lg(x)|<1 ⇒10^(-1)<x<10^1 ⇒δ≥|1-10^1|=9

3. |lg(x)|<0.1 ⇒10^(-0.1)<x<10^0.1⇒δ≥|1-10^0.1|

4. |lg(x)|<0.01 ⇒10^(-0.01)<x<10^0.01⇒δ≥|1-10^0.01|

Задача 8 (1)

Распишем по определению (пусть наш предел равен A):

∀ε>0:∃δ>0:∀x∈(⋃_δ^0)(+∞):cos(x)∈(⋃_ε^)(A)

∀ε>0:∃δ>0:∀x>1/δ:|cos(x)-A|<ε

Распишем отрицание к этому высказыванию:

∃ε>0:∀δ>0:∃x>1/δ:|cos(x)-A|≥ε

Можем взять ε, равный 1/2. cos(x) - цикличная функция, так что для любого δ найдется x>1/δ такой, что cos(x)=Q, где Q-любое число ∈[-1,1]. То есть, всегда найдется такой x, что cos(x) равен либо A+1/2, либо A-1/2. ЧТД

Задача 16

1. ∀ε>0:∃δ>0:∀x∈((x_0)-δ,(x_0)):|ƒ(x)-a|<ε

2. ∀ε>0:∃δ>0:∀x∈((x_0),(x_0)+δ):|ƒ(x)|>1/ε

3. ∀ε>0:∃δ>0:∀x∈(-∞,-1/δ):ƒ(x)>1/ε

4. ∀ε>0:∃δ>0:∀x∈(1/δ,∞):ƒ(x)<1/ε

Задача 18

1. ∃ε>0:∀δ>0:∃x∈(-δ,0):|ƒ(x)|≥ε

2. ∃ε>0:∀δ>0:∃x∈(1/δ,+∞):|ƒ(x)-4|≥ε

3. ∃ε>0:∀δ>0:∃x∈(1,1+δ):ƒ(x)≥1/ε

4. ∃ε>0:∀δ>0:∃x∈(-∞,1/δ):ƒ(x)≤1/ε

Задача 25 (5)

(lim_x→5)((√(,6-x)-1)/(3-√(,4+x)))=(lim_x→5)((6-x-1)/(9-4-x)⋅(3+√(,4+x))/(√(,6-x)+1))=(lim_x→5)((5-x)/(5-x)⋅6/2)=3

Задача 26 (1)

(lim_x→∞)((1+14*x)/(2*x+√(3,x^2)))=(lim_x→∞)((1/x+14)/(2+(x^(2/3))/x))=(lim_x→∞)((1/x+14)/(2+x^(-1/3)))=14/2=7

Задача 27 (2)

(lim_x→∞)(√(,x^4+2*x^2-1)-√(,x^4-2*x^2-1))=(lim_x→∞)(√(,(x^2+1)^2-2)-√(,(x^2-1)^2-2))=

=(lim_x→∞)(((x^2+1)^2-2-(x^2-1)^2+2)/(√(,(x^2+1)^2-2)+√(,(x^2-1)^2-2)))=TODO

Задача 30 (4)

(lim_x→∞)(x^2⋅(cos(1/x)-cos(3/x)))=(lim_y→0)(1/(y^2)⋅(cos(y)-cos(3*y)))

В произведении слева - ББ последовательность, справа - ограниченная. Так что предел будет равен +∞

Задача 33(4)

(lim_x→∞)((x/(x+1))^x)=(lim_x→∞)((1/x/(x+1))^x)=(lim_x→∞)((1/(1+1/x))^x)=(lim_x→∞)(1/((1+1/x)^x))=1/ℇ

Задача 35 (4)

(lim_x→0)((ℇ^(7*x)-ℇ^(2*x))/tan(x))=TODO

Задача 61

Условие

Пусть (lim_x→(x_0))(ƒ(x))=a,(lim_t→(t_0))(g(t))=(x_0). Следует ли отсюда, что (lim_t→(t_0))(ƒ(g(t)))=a?

Решение

Распишем пределы по определению:

∀ε>0:∃δ>0:∀x∈((x_0)-δ,(x_0)+δ):|ƒ(x)-a|<ε

∀(ε^′)>0:∃(δ^′)>0:∀t∈((t_0)-(δ^′),(t_0)+(δ^′)):|g(t)-(x_0)|<(ε^′)

Можем взять (ε^′)=δ, а получившееся (δ^′) назвать Δ, и расписать определение предела ƒ(g(t)) через ε и Δ:

∀ε>0:∃Δ>0:∀t∈((t_0)-Δ,(t_0)+Δ):|ƒ(g(t))-a|<ε

Получается, что следует, что (lim_t→(t_0))(ƒ(g(t)))=a

Задача 5(2)

Условие

Доказать, что функция ƒ(x)=x^2 непрерывна в каждой точке своей области определения

Решение

Если функция непрерывна, то ∀x∈E(ƒ):(lim_δ→0)(ƒ(x+δ))=ƒ(x)

Посчитаем предел:

(lim_δ→0)((x+δ)^2)=(lim_δ→0)(x^2+2*δ*x+δ^2)=x^2=ƒ(x)

ЧТД

Задача 14

Условие

Пусть функция ƒ непрерывна в точке (x_0) и ƒ((x_0))≠0 Доказать, что существуют число C>0 и окрестность точки (x_0) такие, что для любого x из этой окрестности верно неравенство |ƒ(x)|≥C

Решение

Функция непрерывна в (x_0) : (lim_x→(x_0))(ƒ(x))=ƒ((x_0))

То есть, для любой окрестности ƒ((x_0)) найдется проколотая окрестность (x_0) такая, что ƒ во всех точках этой окрестности больше, чем ƒ((x_0))-ε. Тогда можем взять C=ƒ((x_0))-ε и получить желаемый результат. ЧТД

Задача 22

Условие

Доказать, что функция Дирихле разрывна в каждой точке

Решение

1. Пусть x - рациональное число. Тогда в любой окрестности x найдется иррациональное число (x_0). Значит, будет разрыв: D(x)=1, D((x_0))=0.

2. Пусть x - иррациональное число. Так как рациональные числа всюду плотны на действительных, в любой окрестности x найдется рациональное (x_0). Значит, будет разрыв: D(x)=0,D((x_0))=1

Задача 23

Условие

Доказать, что ƒ(x)=D(x)⋅x непрерывна в 0 и разрывна во всех остальных точках

Решение

1. Пусть x - рациональное число. Тогда в любой окрестности x найдется иррациональное число (x_0). Значит, если x=0, разрыва не будет, так как ƒ((x_0)) тоже равно 0. Иначе, будет разрыв: ƒ(x)=x≠0,ƒ((x_0))=0

2. Пусть x - иррациональное число. Так как рациональные числа всюду плотны на действительных, в любой окрестности x найдется рациональное (x_0). Значит, будет разрыв: ƒ(x)=0,ƒ((x_0))=(x_0)

Задача 40

Условие

Привести пример непрерывной на интервале функции:

1. Неограниченной на этом интервале

2. Ограниченной на этом интервале, но не достигающей ни одной из своих граней

Решение

1. ƒ(x)=x^2на интервале (-∞,+∞)

2. ƒ(x)=sin(x) на интервале (0,π)

Задача 41 (1)

Условие

Функция ƒ определена и непрерывна на отрезке [a,b], и все ее значения положительны. Доказать, что существует число μ>0 такое, что ƒ(x)≥μ для любого x∈[a,b]

Решение

По двум теоремам Вейерштрасса функция ограничена на [a,b]. ЧТД

Задача 42

Условие

Функция ƒ непрерывна на интервале (a,b), m=(inf_(a,b))(ƒ),M=(sup_(a,b))(ƒ). Доказать, что для любого y∈(m,M):∃x∈(a,b):ƒ(x)=y

Решение

TODO

Задача 46

Условие

Пусть функция определена и монотонна на промежутке и множество ее значений — промежуток. Доказать, что эта функция непрерывна.

Решение

Докажем только для монотонно возрастающей функции, так как для убывающей функции доказательство аналогичное.

ƒ:[a,b]→[x,y]. ƒ монотонна на [a,b], a≤b,x≤y

Предположим противное: пусть есть разрыв в некоторой точке (x_0)∈[a,b]. Функция определена в (x_0), пусть m=ƒ((x_0)). Так как функция монотонна, получим:

1. (lim_x→(x_0-))(ƒ(x))=(m_1),

2. (lim_x→(x_0+))(ƒ(x))=(m_2),

3. (m_1)≠(m_2),(m_1),(m_2)∈ℝ

Из монотонности функции получим, что (m_1)≤ƒ((x_0))≤(m_2).

Тогда можно взять m∈((m_1),(m_2)),ƒ((x_0))≠m. Получим, что ƒ не принимает значение m ни в одной точке, что противоречит с условием о множестве значений. ЧТД

Задача 76

Функция ƒ непрерывна на [a,+∞) и существует конечный предел (lim_x→+∞)(ƒ(x))=L. Доказать, что ƒ ограничена на [a,+∞).

Выберем ε=1. По определению предела найдем такое M, что для ∀x>M:|ƒ(x)-L|<1. Тогда на промежутке (M,+∞) ƒ ограничена |L|+1. В это время, функция непрерывна на отрезке [a,M], то есть ограничена на нем каким-то числом C. Значит, функция ограничена на [a,+∞) числом max(|L|+1,C). ЧТД