2024-2C
Problema 2
Enunciado
Un medio lineal, isótropo y homogéneo con permitividad eléctrica ϵ se extiende hasta el infinito en las direcciones x e y y tiene espesor d. El dieléctrico se encuentra apoyado sobre un plano conductor conectado a tierra en z=0. En el interior del dieléctrico se ubica un alambre de longitud d, infinitamente delgado y perpendicular al plano, con densidad de carga uniforme λ, como indica la figura.
Datos: ϵ,d,λ.
Identificar todas las fuentes del campo eléctrico E. De ser posible calcúlelas explícitamente, en caso contrario indique su ubicación en el espacio y escriba una expresión para obtenerlas en término de los campos.
Calcular el potencial electrostático Φ(r) en todo el espacio.
Chequear que el resultado tiene las unidades adecuadas, que la solución Φ(r)∈R, que se reduce al caso correspondiente en el límite ϵ→1 y en el límite ϵ→∞, y que satisface las simetrías de la configuración de cargas del problema.
Resolución
Primero voy a empezar notando que el hilo es unidimensional. Onda no es una placa infinita, eso me habia confundido.
Luego, como siempre, el campo electrico E no tiene fuentes de rotor, solamente de divergencia. Particularmente tenemos que ∇⋅E=4*π*(σ_T). O sea, lo afectan las densidades tanto de polarización como las libres
Libres: Libres tenemos, el cablecito cargado, y el conductor a tierra. (es un metal, tiene electrones libres que se mueven).
Polarización: Estas se producen por el salto de superficies. La unica pertinente es la que se encuentra en z=0 y z=d. Asi que existen ahi tambien, la de abajo se produce del lado del dieléctrico, la placa sigue estando a V=0. Tambien se deberían producir saltos en los laterales del dieléctrico, pero estos se encuentra en el infinito asi que podemos no considerarlos. Ahora, faltaria considerar las cargas volumétricas, pero podemos notar que
∇⋅E=∇⋅H=0 adentro del dielectrico (y fuera de la placa a tierra y el hilo), y el producto da 0 porque H solo ve cargas libres, y en esa zona no hay ninguna
Entonces asi quedan descriptas todas las fuentes de E. Ahora lo unico que queda es dejar calculadas las dos. Le voy a decir (σ_1) a la de abajo y (σ_2) a la de arriba
(P_2)-(P_1)=-(σ_1)⇒(χ_e)*E-0=4*π*(σ_1)