Разложения

Задача 1

Записать в параметрическом виде общую формулу решения системы линейных уравнений

Решение

Получаем что , что меньше ее размерности, значит точного(единственного) решения не существует.

Для того что бы найти все существующие решения воспользуемся формулой общего решения через псеводобратную матрицу: .

Найдем . Матрица уже была посчитана в начале решения. Матрица для такой матрицы .

Итого получаем следующую формулу общего решения системы:

Задача 2

Найти LU разложение для матрицы

т.е. представить ее в виде произведения для нижнетреугольной матрицы с единицами на диагонали и верхнетреугольной матрицы . Решить с помощью этого разложения систему уравнений:

Решение

Так как матрица квадратная, и не вырожденная(легко видеть что строка независима с первыми двумя, а они, в свою очередь, не пропорциональны друг другу), а так же ее угловые миноры не вырождены, то для нее существует разложение.

Из этого равенства выпишем все соотношения для элементов и

- первая строчка матрицы

Заполнили строчку матрицы

Заполнили строку и всю матрицу . Можно записать результат:

Теперь решим при помощи этого систему

где

Теперь зная это решение, решим систему

Задача 3

Убедиться, что следующая матрица эрмитова с неотрицательными собственными значениями, и найти ее разложение Холецкого(вида , где верхнетреугольная матрица с неотрицательными собственными значениями) для матрицы

Решение

Так как матрица то она эрмитова она симетрична. Так как для матрицы это верно.

Так как матрица эрмитова, то ее положительная определенность равносильна тому что все собственные вектора положительны. Проверить положительную определенность можно через критерий сильвестра:

Критерий Сильвестра выполнен, а значит все собственные значения положительны. Теперь найдем разложение Холецкого.

Из этого соотношения имеем:

Мы заполнили строчку матрицы

- верно

Мы заполнили строку матрицы. Теперь можно составить полное выражение:

Задача 4

Найти QR-разложение следующей матрицы:

(где матрица - ортогональная, а - верхнетреугольная)

Решение

Так как матрица квадратная, то матрица будет унитарной, в следствии этого. Это упростит вычисление матрицы .

Что бы найти матрицу , для начала ортогонализируем столбцы матрицы . Для этого применим процесс ортогонализации Грамма-Шмидта:

Теперь из полученных столбцов можно составить ортогональную матрицу :

- так как матрица симметрична и действительна

Так как - унитарная матрица, то

Можно записать разложение в финальной форме:

Задача 5

Убедиться что следующая матрица эрмитова и найти ее спектральное разложение:

Найти обратную матрицу при помощи спектрального разложения

Решение

Матрица эрмитова . Проверим это для данной матрицы:

Так как матрица эрмитова, то она нормально а значит для нее существует спектральное разложение, и при этом матрица перехода к диагональному базису унитарна.

Найдем собственные значения оператора :

Собственными значениями оператора являются: причем имеет алгебраическую кратность равную Теперь найдем собственные вектора оператора:

Так как для каждого собственного значения оператора его алегбраическая кратность равна геометрической кратности, то матрицу можно диагонализировать.

Выберем один из диагональных базисов для матрицы . Сама матрица будет выглядеть как:. Тогда матрица перехода к этому базису будет записана так:

Вспомним, что матрица эрмитова. Это значит что собственные пространства - натянутые на собственные вектора, ортогональны друг другу: . Но так как у нас есть собственное значение , геометрическая кратность которого равна , нужно проверить что полученные базисные вектора пространства ортогональны друг другу:

В силу устройства вектора это довольно очевидно, а значит базис из вектор-столбцов матрицы ортогональный, поэтому можно пропустить процесс ортогонализации и сразу нормировать столбцы матрицы

Запишем унитарную матрицу :

Теперь запишем окончательный вид разложения:

Так как (в этом мы убедились когда находили один из собственных векторов), то возможно найти только лишь псевдообратную матрицу.

Из свойств спектрального разложения: - так как сопряжение элемента в группе уважает степени. Но найти псевдообратную матрицу для диагональной легко:

- это просто обратные числа для всех не нулевых диагональных элементов

Задача 6

Найти сингулярное разложение матрицы

Вычислить псевдообратную матрицу к используя сингулярное разложение

Решение

Для начала найдем сингулярные числа матрицы . По определению число называется сингулярным, если существуют вектора и , такие что: и . Тогда для матрицы сингулярные числа это корни из собственных значений:

Следовательно получим следующие собственные значения:

Соответственными сингулярными значениями будут:

Эти числа составляют диагональ матрицы

Что бы найти оставшиеся матрицы, нужно найти собственные векторы и для сингулярных чисел. Вектор называется левым сингулярным и входит в матрицу , а вектор правым сингулярным и входит в матрицу .

Найдем все правые сингулярные вектора. Исходя из того что , правые сингулярные вектора являются собственными для матрицы .

Что бы полученная из них матрица была ортонормированной, нормируем вектора(они ортогональны тк из разных собственных пространств эрмитовой матрицы )

,

Теперь что бы найти левые сингулярные вектора воспользуемся соотношением(обратным к тому что выведено в начале задачи):

. Если то можно вектор .

После этого дополним до ортонормированного базиса в пространстве векторов матрицы те вектора которые мы смогли посчитать.

;

Теперь нам нужно дополнить базис пространства матрицы еще ортогональными векторами. Можно было бы взять стандартный базис и провести процесс ортогонализации Грамма-Шмидта, но здесь можно увидеть подходящих базисных вектора:

и

Теперь мы можем составить унитарную матрицу и унитарную матрицу